T分布奇怪的行为

Question

我有一个经验分布，我正在尝试使用T将numpy分布拟合到它并使用matplotlib进行绘制。

这是我无法理解的：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import t

arr = np.array( [140, 36, 44, 24, 15, 48, 19, 2, 84, 6, 70, 3, 20, 6, 133, 23, 30, 7, 37, 165] )

params = t.fit( arr )

mean = arr.mean()
std = arr.std()

r = np.arange( mean - 3 * std, mean + 3 * std, 0.01 ) 

pdf_fitted = t.pdf(r, *params[0:-2], loc=params[-2], scale=params[-1])
plt.plot( r,  pdf_fitted )

plt.plot( [mean, mean], [0, max(pdf_fitted)] )

plt.show()

这个情节：

绿线是经验数据的平均值，蓝线是相同数据的拟合T分布。

问题是经验均值和分布的峰值不匹配。当我将normal分布拟合到相同的数据时，我会按预期与绿线和分布的峰值完美匹配。

现在，关注Wikipedia T distribution：

  

t分布是对称的，钟形，与法线一样   分布，但尾巴较重...

因为它说对称我希望我的平均值和峰值匹配完美，但事实并非如此。

我的问题是：我的Python代码有什么问题，还是T发布的预期行为？如果是，为什么？如果不是，我的代码出错了什么？

Answer 1

就我所见，Python代码中没有错误;实际上，这是一个很好的例子来说明学生 t 分布与高斯分布相比的稳健性。指数族分布（高斯，指数，二项式，泊松等）的一个特征是它们具有非常薄的尾部，这意味着当您偏离平均值时，pdf会呈指数减小。这一特性为它们提供了很好的理论属性，但通常是将它们应用于模拟真实世界分布的瓶颈，其中数据集中存在异常值。因此， t 分布是一种流行的替代方案，因为观察到的数据集中的几个异常值不会对您的推论产生太大影响。在您的示例中，将原始数据集视为由除三个高异常值之外的所有点组成。然而，这些异常值在一些嘈杂的过程中被引入。统计推断旨在描述原始数据集的属性（例如，均值），因此假设您在这种情况下使用高斯，您将严重高估真实均值。如果您在这种情况下使用 t ，它将与您的嘈杂样本的平均值不匹配，但无论异常值如何，它都会更准确地估计原始真实均值。