问题“Is partitioning easier than sorting?”：
假设我有一个项目列表和一个 对它们的等价关系，和 比较两个项目需要不变 时间。我想返回一个分区 物品，例如链接列表 列表，每个包含所有等价物 项目
这样做的一种方法是扩展 等同于对的排序 物品和订购（排序 算法）;那么所有等价物品 将毗邻。
（请记住平等与equivalence之间的区别。）
显然，在设计排序算法时必须考虑等价关系。例如，如果等价关系是“同一年出生的人是等价的”，则根据人名进行排序是不合适的。
您能否建议一种数据类型和等价关系，以便无法创建排序？
数据类型和等价关系如何 可以创建这样的排序，但不可以在数据类型上定义散列函数将等效项目映射到相同的哈希值。
（注意：如果非等价物品映射到相同的散列值（碰撞），则可以 - 我不是要求解决碰撞问题 - 但另一方面，hashFunc(item) { return 1; }是作弊。）
我怀疑对于任何可以定义排序的数据类型/等价对，也可以定义合适的散列函数，它们将具有类似的算法复杂度。这个猜想的一个反例就是具有启发性！
答案 0 :(得分：5)
问题1和2的答案在以下意义上是否定的：给定字符串{0,1} * 上的可计算等价关系≡，存在可计算函数f，使得x≡ y当且仅当f（x）= f（y）时，才会产生订单/散列函数。 f（x）的一个定义很简单，计算速度很慢：按字典顺序枚举{0,1} * （ε，0,1,00,01,10,11,000， ...）并返回相当于x的第一个字符串。我们保证在达到x时终止，所以这个算法总是停止。
答案 1 :(得分：2)
创建哈希函数和排序可能很昂贵，但通常是可能的。一个技巧是通过该类的预先安排的成员来表示等价类，例如，当被视为位串时，其序列化表示最小的成员。当有人向您提供等价类的成员时，将其映射到该类的该规范化成员，然后散列或比较该成员的位串表示。参见例如http://en.wikipedia.org/wiki/Canonical#Mathematics
这是不可能或不方便的例子包括当某人给你一个指向实现equals（）但没有其他任何有用的对象的指针时，你不会破坏类型系统来查看对象内部，当你得到调查结果，只要求人们判断对象之间的平等。此外，Kruskal的算法使用Union＆amp; Find内部来处理等价关系，因此对于这个特定的应用来说，没有找到更具成本效益的方法。
答案 2 :(得分：1)
一个似乎符合您要求的示例是IEEE浮点类型。特别是，除非你采取特殊的步骤来检测它是一个NaN，并且总是调用那个等价物，否则NaN不会与其他任何东西（甚至是它自己）等效。
同样哈希。如果存储器服务，则将有效数据的所有位设置为0的任何浮点数被视为具有值0.0，而不管指数中的位被设置为什么。我可能记得有点不对，但在任何情况下这个想法都是一样的 - 数字的一部分中的正确位模式意味着它具有值0.0，无论中的位是什么其余的部分。除非您的哈希函数考虑到这一点，否则它将为真正比较精确相等的数字生成不同的哈希值。
答案 3 :(得分：1)
正如您可能知道的那样，基于比较的排序至少需要O（n log n）时间（更正式地说，你会说它是Omega（n log n））。如果您知道log2（n）等价类少于，则分区更快，因为您只需要检查每个等价类的单个成员的等效性，以确定应该为分配给定元素的分区中的哪个部分。
即。你的算法可能是这样的：
For each x in our input set X:
For each equivalence class Y seen so far:
Choose any member y of Y.
If x is equivalent to y:
Add x to Y.
Resume the outer loop with the next x in X.
If we get to here then x is not in any of the equiv. classes seen so far.
Create a new equivalence class with x as its sole member.
如果有m个等价类，则内循环运行最多m次，整体花费O（nm）时间。正如ShreetvatsaR在评论中观察到的，最多可以有n个等价类，因此这是O（n ^ 2）。请注意，即使X上没有总排序，这也有效。
答案 4 :(得分：1)
理论上，由于Well Ordering Theorem，即使你有无数的分区，也总是可能（对于问题1和2）。
即使您限制为可计算函数，throwawayaccount的答案也会回答。
您需要更准确地定义您的问题： - ）
无论如何，
实际上，
请考虑以下事项：
您的数据类型是无符号整数数组的集合。排序是词典比较。
你可以考虑hash（x）= x，但我想这也是作弊： - ）
我会说（但是没有考虑更多关于获取哈希函数，所以可能错了）通过排序进行分区比通过散列进行分区更加实用，因为散列本身可能变得不切实际。 （毫无疑问，存在散列函数）。
答案 5 :(得分：0)
我不打算删除它只是因为下面的一些评论很有启发性
并非每个等价关系都意味着订单
由于你的等价关系不应该引起秩序，所以我们将无序距离函数作为关系。
如果我们得到函数集f（x）：R - ＆gt; R作为我们的数据类型，并将等价关系定义为：
f is equivalent to g if f(g(x)) = g(f(x) [commuting Operators][1]
然后你不能对那个顺序进行排序（真实数字不存在内射函数）。由于函数空间的基数，您无法找到将数据类型映射到数字的函数。
答案 6 :(得分：0)
我相信 ......
1-你能否建议一个数据类型和等价关系 不可能创建订单？
......只有无限（可能只有不可数）的集合才有可能。
2-数据类型和等价关系如何 可以创建这样的排序， 但是不可能定义一个 数据类型的哈希函数 将等效项目映射到相同的项目 哈希值。
......与上述相同。
答案 7 :(得分：0)
假设F（X）是将某个数据类型T的元素映射到同一类型的另一个元素的函数，这样对于任何类型为T的Y，只有一个类型为T的X，使得F（X） ）= Y。进一步假设选择函数，以便在给定Y的上述方程中通常没有找到X的实用方法。
定义F0 = X，F {1}（X）= F（X），F {2}（X）= F（F（X））等等，所以F {n}（X）= F（ ˚F{N-1}（X））。
现在定义一个包含正整数K的数据类型Q和一个类型为T的对象X.定义一个等价关系：
Q（a，X）vs Q（b，Y）：
如果是＆gt; b，如果F {a-b}（Y）== X
，则项目相等如果＆lt; b，如果F {b-a}（X）== Y
，则项目相等如果a = b，则项目等于iff X == Y
对于任何给定的对象Q（a，X），F {a}（Z）== X恰好存在一个Z.两个对象是等效的，如果它们具有相同的Z.可以基于Z定义排序或散列函数。另一方面，如果选择F使得其逆不能实际计算，则比较元素的唯一实用方法可能是使用上面的等价函数。我知道无法在不知道项目可能具有的最大可能“a”值的情况下定义排序或散列函数，或者有一种方法来反转函数F.