Question

我的问题如下

我有一套K元素

此集合的每个子集由std :: bitset的实例表示（位i为真=子集中有元素i）

我有一个输入子集I和一个子集列表S1 ... Sn

我想从S1 ... Sn中返回项目，这样Si就包含在I中。（也就是说，每次Si有一个真实的时候，它在I中也必须是真的）

显然，这可以在K * n中完成，通过对每个S子集进行独立的相同检查。

但是，有没有通用的方法可以做得更好？我很确定它是可能的，因为在我的情况下，子集列表S1 ... Sn总是相同的并且可以进行预处理。我确定可以将子集存储在特定的数据结构中（树？trie？），这样我就可以一次性丢弃大量的子目录等等。

example :
K = 5

I = [1,1,0,1,0]

S1 = [1,0,0,0,0]
S2 = [1,1,0,1,0]
S3 = [1,1,1,0,0]

the ouput should return S1,S2 (not S3!)

我有一个常量集S1,S2,...,Sn，并在同一集合上运行I的不同查询。

编辑：我所谈论的例子：例如，如果S1中包含S1：检查I中是否包含S1：如果不包含，则不能将S2包括在内（不需要检查）如果S3是S1和S2的并集：如果S1和S2包含在I中，那么S3

也是如此

Answer 1

您可以使用inverted index方法。虽然它不能改善最坏情况的性能，但它可能会加速平均情况，特别是对于相对密集的查询向量。

对于每个j = 1,2，...，k创建一个排序列表，如果j在S_i中，则每个子集都在此列表中。在预处理中仅创建一次。

在您的示例中，它将类似于：

0 -> [S1,S2,S3]
1 -> [S2,S3]
2 -> [S3]
3 -> [S2]
4 -> []

现在，给定一个查询I，找到包含＆＃34; down＆＃34;之一的所有集合。 I的位。这与信息检索中的OR查询相同。此查询的答案是结果中没有的子集。其余的都是。

在您的示例中，查询为2 OR 4，查询倒排索引时的结果为：S3，因此结果为S1，S2。

这基本上就是搜索引擎所做的事情，如果查询与可能性的数量相比包含的条款非常少，则效率非常高。

Answer 2

以部分答案回答我的问题：

从S1 ... Sn我们构建了一个子集树，这样根节点就是空子集（bitset中都是0），并且每个子节点都包含它的父子集
对于算法，从根开始：
- 为每个孩子：
  - 如果此节点中的子集包含在I中，请添加此子集并以此节点作为根再次调用算法
  - 否则，转到下一个孩子（从未处理过这个孩子的子树）

现在的问题是，如何从1）最佳地构建树？即具有最大深度和最小“宽度”的例如，在我的例子中，“坏”树将是S1，S2和S3是来自根节点的子节点。 “好”树将是根节点仅具有针对子节点的S1，并且以S1为根的树具有S2且S3为子节点。我不知道如何构建这棵树

Answer 3

构建一个包含所有T的二叉树S1...Sn，其中每个级别k都有两个子节点，具体取决于S是否有0或1位置k。树的叶子都是你的S1...Sn。

给定输入子集I，我们取Ik（位置k中的元素）：如果Ik==0，则选择T的子树K级Ik==1 1}}对应于0.如果T您在级别K选择了O(n+k)的子树。在T上以这种方式进行，直到你到达所有的树叶。

~~在最糟糕的情况下，您对给定的I进行S1...Sn次操作。~~

由于T不会改变，因此构建树T是一次操作。

编辑：我的答案很仓促。树n有超过2^k=m个叶子，它有S1...Sn个叶子。但是我们可以删除不在O(2^k)中的叶子和死亡的子树。这将成本分析带到m，但实际上我们将拥有更少的节点。现在，分析变得更难，如果值得，取决于n和S之间的比率;

我提出了一种不同的分析方法：认为在k级我们在常量时间内将所有子集k丢弃为O(n)级别的无效位，但我们必须在{{1}中这样做每个级别的子树。由于此操作重复k次，因此最高费用为O(kn)，但实际上平均费用较低。