前奏词取幂很难理解

时间:2015-08-28 12:17:47

标签: haskell functional-programming haskell-prelude

我正在阅读Haskell Prelude并发现它很容易理解,然后我偶然发现了exponention的定义:

(^)              :: (Num a, Integral b) => a -> b -> a
x ^ 0            =  1
x ^ n | n > 0    =  f x (n-1) x
                         where f _ 0 y = y
                         f x n y = g x n  where
                                g x n | even n  = g (x*x) (n `quot` 2)
                                     | otherwise = f x (n-1) (x*y)
_ ^ _            = error "Prelude.^: negative exponent"

我不明白是否需要两个嵌套的where

到目前为止我所理解的是:

(^)              :: (Num a, Integral b) => a -> b -> a

基数必须是数字,指数为intege,好的。

x ^ 0            =  1

基础案例,简单。

g x n | even n  = g (x*x) (n `quot` 2)
      | otherwise = f x (n-1) (x*y)

通过平方来表达......有点......为什么需要f助手?为什么fg会给出单个字母的名称?它只是优化,我错过了一些明显的东西吗?

 _ ^ _            = error "Prelude.^: negative exponent"

N>之前检查过0,如果我们到达这里,则N为负,所以错误。

我的实施将直接转换为以下代码:

Function exp-by-squaring(x, n )
    if n < 0 then return exp-by-squaring(1 / x, - n );
    else if n = 0 then return 1; else if n = 1 then return x ;
    else if n is even then return exp-by-squaring(x * x, n / 2);
    else if n is odd then return x * exp-by-squaring(x * x, (n - 1) / 2).

来自维基百科的伪代码。

4 个答案:

答案 0 :(得分:12)

为了说明@dfeuer所说的内容,请注意f的编写方式:

  1. f返回值
  2. 或,f使用新参数调用自身
  3. 因此f是尾递归的,因此可以很容易地转换为循环。

    另一方面,通过平方来考虑这种取幂的替代实现:

    -- assume n >= 0
    exp x 0 = 1
    exp x n | even n    = exp (x*x) (n `quot` 2)
            | otherwise = x * exp x (n-1)
    

    这里的问题是在else子句中,最后执行的操作是乘法。所以exp

    1. 返回1
    2. 使用新参数调用自身
    3. 使用一些新参数调用自身,并将结果乘以x
    4. exp不是尾递归,因此无法转换为循环。

答案 1 :(得分:7)

f确实是一种优化。天真的方法是“自上而下”,计算x^(n `div` 2)然后平方结果。这种方法的缺点是它构建了一堆中间计算。 f允许此实现执行的操作是首先对x(单个乘法)求平方,然后将结果递增到递减的指数尾部。最终结果是该功能可能完全在机器寄存器中运行。 g似乎有助于避免在指数为偶数时检查循环的结束,但我不确定这是不是一个好主意。

答案 2 :(得分:1)

据我所知,只要指数是偶数,就可以通过平方求解指数。

这导致了为什么在奇数的情况下需要f的答案 - 我们使用fg x 1的情况下返回结果,在其他每个奇怪的情况下我们使用f返回g - 例程。

如果你看一个例子,你可以看到它最好:

x ^ n | n > 0 = f x (n-1) x
  where f _ 0 y = y
        f x n y = g x n
          where g x n | even n  = g (x*x) (n `quot` 2)
                      | otherwise = f x (n-1) (x*y)

2^6 = -- x = 2, n = 6, 6 > 0 thus we can use the definition
f 2 (6-1) 2 = f 2 5 2 -- (*)
            = g 2 5 -- 5 is odd we are in the "otherwise" branch
            = f 2 4 (2*2) -- note that the second '2' is still in scope from  (*)
            = f 2 4 (4) -- (**) for reasons of better readability evaluate the expressions, be aware that haskell is lazy and wouldn't do that
            = g 2 4
            = g (2*2) (4 `quot` 2) = g 4 2
            = g (4*4) (2 `quot` 2) = g 16 1
            = f 16 0 (16*4) -- note that the 4 comes from the line marked with (**)
            = f 16 0 64 -- which is the base case for f
            = 64

现在谈谈你使用单字母函数名称的问题 - 这是你必须习惯的事情,这是社区中大多数人写的一种方式。它对编译器如何命名函数没有影响 - 只要它们以小写字母开头即可。

答案 3 :(得分:1)

正如其他人所指出的那样,函数是使用尾递归来编写效率的。

但是,请注意,可以删除最里面的where,同时保留尾递归,如下所示:而不是

x ^ n | n > 0 =  f x (n-1) x
      where f _ 0 y = y
            f x n y = g x n
              where g x n | even n  = g (x*x) (n `quot` 2)
                          | otherwise = f x (n-1) (x*y)

我们可以使用

x ^ n | n > 0 =  f x (n-1) x
      where f _ 0 y = y
            f x n y | even n    = f (x*x) (n `quot` 2) y
                    | otherwise = f x (n-1) (x*y)

也可以说更具可读性。

但我不知道为什么Prelude的作者会选择他们的变体。