决定性方法与三角形的交叉积区域

Question

我想知道哪种方法（决定方法或交叉产品）更有效地计算三角形的面积？ 对于决定因素，我认为在area = 1/2 * det（）对于这个方法，我使用这个http://mathworld.wolfram.com/TriangleArea.html。 我认为在cross = det（）但是有交叉产品的交叉产品。当他们没有0（0,0）的原点时，我必须翻译系统，这意味着从每个点减去原点的协调点。 这就是我所做的。

Answer 1

我认为通过“决定性方法”（在Google中找不到），您的意思是：

给出3分A，B，C（假设它们是position vectors）让a = B-C，b = A-C。然后因为determinant的特殊属性：

  

实矢量行列式的绝对值等于这些矢量所跨越的平行六面体的体积

我们有|det(M)| = 2 SABC其中SABC是三角形ABC的区域，M是一个特殊的矩阵，“定义”“平行六面体”：

因此，三角形的面积可以计算为SABC = 1/2 |axby - aybx|，其中ax = Bx - Cx和其他人以类似方式定义。

这个公式非常简单有效。唯一的问题是它只适用于平面点（2D情况）。如果你的点位于n维空间的某个地方，你需要先在它们之间绘制一个平面。

在3D情况下，您可以使用跨产品公式。它可以看作是上述方法的延伸，我稍后会详细说明。

跨产品方法的工作原理如下：像以前一样选择a和b并注意其交叉产品的长度等于相应的平行四边形的区域：

让v = a × b。然后是SABC = 1/2 sqrt(vx2 + vy2 + vz2)。请注意，您不需要显式计算v：它的每个组件都可以表示为具有简单封闭形式的2D行列式。

如果你有2D矢量，你可以通过添加常量第三个分量（例如0）轻松地将它们嵌入到3D空间中。事实证明，在这种情况下，vx和vy将为我们留下S _ABC = 1/2 | v _z |这将与行列式方法的答案一致。

所以，总之

• 如果你的点在2D空间中，则使用行列式方法。
• 如果您在3D空间中的点数，则使用跨产品方法（您可以使用它） 在2D情况下，但是一些子表达式总是评估为0）。
• 在n维空间的情况下，两种方法都不起作用。