Question

我已阅读 this interesting answer 关于＆＃34; 检查一个数字是否可以被3整除＆＃34;

虽然答案是Java，但它似乎也适用于其他语言。

显然我们可以这样做：

boolean canBeDevidedBy3 = (i % 3) == 0;

但有趣的部分是另一个计算：

boolean canBeDevidedBy3 = ((int) (i * 0x55555556L >> 30) & 3) == 0;

为简单起见：

0x55555556L = "1010101010101010101010101010110"

的Nb

还有另一种检查方法：

通过计算1，可以确定整数是否可以被3整除奇数位位的位，将此数乘以2，加上数字在偶数位的1位，将它们添加到结果中并检查是否结果可以被3整除

例如：

93 ₁₀（可被3整除）
01011101 <子> 2

奇数位置有2位，偶数位置有4位（基于2数字位置的位置为零）

2*1 + 4 = 6可以被3整除。

起初我认为这两种方法是相关的，但我没有找到。

问题

如何

  boolean canBeDevidedBy3 = ((int) (i * 0x55555556L >> 30) & 3) == 0;

- 实际确定是否i%3==0？

Answer 1

每当您向数字添加3时，您所做的就是添加二进制文件11。无论数字的原始值是什么，这将保持在奇数位置的1位数的两倍，加上偶数位置的1位数的不变量也将被3整除。

你可以通过这种方式看到。让我们调用上面的表达式c的值。您将1添加到奇数位置，将1添加到偶数位置。当您将1添加到偶数位置时，您已添加1的位已设置或未设置。如果未设置，则您将c的值增加1，因为您已在奇数位置添加了新的1。如果之前已设置，则会翻转该位，但在偶数位置（从进位）添加1。这意味着您最初将c减少1，但现在当您将1添加到偶数位置时，您将c增加2，因此整体而言c增加了{{} 1}} by 2。

当然，这个携带位也可能会被添加到已设置的位，在这种情况下，我们需要检查此部分是否仍然增加c 2：你将删除1处于偶数位置（将c减少2），然后在奇数位置添加1（将c增加1），这意味着我们＆＃39}实际上，c减少了1.这与将c增加2相同，但是，如果我们正在以模3运算。

更正式的版本可以通过归纳来证明。

Answer 2

这两种方法似乎没有关系。当使用数字基b-1（在十进制算术中称为"casting out nines"）时，逐位方法似乎与用于有效计算模b的某些方法有关。

基于乘法的方法直接基于除法的定义，当通过与倒数相乘来完成时。让/表示数学除法，我们有

int_quot = (int)(i / 3)
frac_quot = i / 3 - int_quot = i / 3 - (int)(i / 3)
i % 3 = 3 * frac_quot = 3 * (i / 3 - (int)(i / 3))

数学商的小数部分直接转换为整数除法的余数：如果分数为0，则余数为0，如果分数为1/3，则余数为1，如果分数为2/3，则余数是2.这意味着我们只需要检查商的小数部分。

我们可以乘以1/3，而不是除以3。如果我们以32.32定点格式执行计算，则1/3对应于2 ³² * 1/3，这是0x55555555和0x55555556之间的数字。由于很快就会明显的原因，我们在这里使用高估，即舍入结果0x555555556。

当我们将0x55555556乘以i时，完整64位产品的最高32位将包含商(int)(i * 1/3) = (int)(i / 3)的整数部分。我们对这个不可分割的部分不感兴趣，所以我们既不计算也不存储它。产品的低32位是0 / 3,1 / 3,2 / 3的分数之一，但是由于我们的0x555555556的值略大于1/3而略有误差计算：

i = 1:  i * 0.55555556 = 0.555555556
i = 2:  i * 0.55555556 = 0.AAAAAAAAC
i = 3:  i * 0.55555556 = 1.000000002
i = 4:  i * 0.55555556 = 1.555555558
i = 5:  i * 0.55555556 = 1.AAAAAAAAE

如果我们检查二进制中三个可能分数值的最高有效位，我们会发现0x5 = 0101，0xA = 1010，0x0 = 0000。因此，商的小数部分的两个最高有效位恰好对应于期望的模数值。由于我们正在处理32位操作数，因此我们可以通过右移30位然后使用0x3掩码来提取这两位，以隔离两位。我认为在Java中需要屏蔽，因为32位整数总是被签名。对于C / C ++中的uint32_t个操作数，仅移位就足够了。

我们现在明白为什么选择0x55555555作为1/3的代表不起作用。商的小数部分将变为0xFFFFFFF*，并且由于二进制的0xF = 1111，模数计算将传递3的错误结果。

请注意，随着i幅度的增加，来自1/3的不精确表示的累积误差会影响小数部分的越来越多的位。实际上，详尽的测试表明该方法仅适用于i < 0x60000000：超出该限制，错误会超过代表我们结果的最重要的分数位。

用二元运算检查除以3？

2 个答案: