模块化分区

Question

给定一个非负整数列表，例如 ₀ ， ₁ ， ₂ ,. 。 。 ， _n 和常数正整数m。我们想要生成所有形式为' ₀ ，' ₁ ，' ₂ 的非负整数列表。 。 。 ，' _n ，以便：

1. 存在一个i，使得 _i ≠a _i 。
2. 对于所有我，我们有 _i ≥a' _i
3. a ₀ + a ₁ + a ₂ +。 。 。 + a _n - a' ₀ - a' ₁ - a' ₂ - 。 。 。 - ' _n 是m
的倍数

就时间而言，java的最佳算法是什么。我尝试过两种不同的东西。

1. 对于介于0和a _i 之和之间的所有km：首先将km的所有分区生成为n个部分。对于每个这些分区，从原始的整数序列中减去它的组成部分。如果所有组件都是非负数，则结果列表有效。
2. 生成所有较小的位置并检查它们是否满足条件3.

令人惊讶的是，我的第二个想法明显快于第一个想法，但仍然相当缓慢。我该怎么做呢？这个问题在精神上与Generating the partitions of a number类似。

Answer 1

这可以使用动态规划在多项式时间 O（nm ² ）中求解。

设 f（i，r）是构建序列a' ₀ ，' ₁ ，...的方法的数量。 。，' _i 这样

（a ₀ + a ₁ ，... + a _i - a' ₀ - a ' ₁ - ... - a' _i ）mod m = r 。

第一个参数的选择是显而易见的：我们将从左到右查看序列，并记录序列前缀的结果。 第二个参数是我们到目前为止模拟 m 的其余部分，因为为了构建所有可能的序列，我们必须考虑其间的所有可能的余数，而不仅仅是零。

要计算 f（i，r），我们需要考虑（a _i - a' _i ）的可能选择mod m 并使用先前计算的 f（i - 1，*）。

• 如果（a _i - a' _i ）mod m = 0，则有 u = [a _i / m ] + 1个' _i 的选择：这些是 _i ， a _i - m ，a' _i - 2 m ，...，a' _i - u m 。 所以，我们必须在我们的答案中添加（[a _i / m ] + 1）* f（i - 1，r）：每个可能的答案长度 i - 1 ，总余数 r ，我们可以选择[a _i / m ] +' _i 的1个可能值，使得新序列的总余数也 r 。

• 如果（a _i - a' _i ）mod m = m - 1，有 v = [（一个 _i - 1）/ m ] + 1个' _i 的选择：这些是 _i - 1， _i - 1 - m ，a' _i - 1 - 2 m ，...，'a _i - 1 - v m 。 所以，我们必须添加（[（a _i - 1）/ m ] + 1）* f（i - 1，（r + m - 1） mod m）到我们的答案：对于长度 i - 1 的每个可能答案，总余数（r + m - 1） mod m ，我们可以选择每个[（a _i - 1）/ m ] + 1个' i ，以便新序列的总余数现在为 r 。

• ...

• 如果（a _i - a' _i ）mod m = 1，则 w = [（a _i - （ m - 1））/ m ] + 1这样的' _{i ：这些是 i - （ m - 1）， i - （ m - 1） - m ，a' i - （m - 1） - 2 m ，...，a' i - （ m - 1） - w m 。 所以，我们必须添加（[（a i - （ m - 1））/ m ] + 1）* f（ i - 1，（r + 1） mod m）我们的答案：对于长度 i - 1 的每个可能答案，总余数（ r + 1） mod m ，我们可以选择每个[（a i - （ m - 1））/ m ] +' i 的1个可能值，使得新序列的总余数现在为 r 。}

总结一下，

f（i，r） = sum {by s = 0 to m - 1} of（[（a _我 - s）/ m ] + 1）* f（i - 1，（r + m - s） mod m）

我们为所有 i 和所有 r 执行此操作。 基数将是 f（-1,0）= 1 （有一个空序列，总余数为0）和 f（-1，t）= 0 < em> t＆gt; 0 （没有空序列，总余数> 0）。 答案是 f（n，0）（序列数a' ₀ ，a' ₁ ，...，a' _i ，总余数为0）。

实现时，请注意舍入整数除法并采用非负模数：在接近CPU的语言中（如C或C ++ or even Java），整数除法和余数计算默认舍入为零，因此，当我们分别需要-1和1时，-1 / 2的整数结果将为0，-1 mod 2将为-1。