二进制搜索树高度h的构造

Question

假设前n个自然数作为BST的关键，我如何确定所有可能树的根节点，其高度为＆＃39; h＆＃39;

我已经想出了一个强力方法，我用n个节点构造了所有可能的树，然后选择了高度为h的树，但它的时间复杂度几乎为O（n！）。有人可以建议一种更有效的方法吗？

Answer 1

问题陈述。根据自然数n和h，确定root中的所有元素1..n，root是1..n高度为h的二叉搜索树的根。

解决方案。我们可以在1..n上从1..n中的任意数字开始构建简并二元搜索树，方法是在root处将其拆分。这会将旧解决方案的下限更改为h-1，而上限保持不变，呈现完整边界如下：

 h-1 <= max(root-1, n-root) <= 2^h - 1

旧解决方案（仅对完整二进制树正确）。 A full binary tree with height h has at least 2h+1 nodes, and at most 2^(h+1)-1 nodes。很容易看出这些边界很紧，不仅适用于二叉树，也适用于二叉搜索树。特别是，它们适用于left的{​​{1}}和right子树。由于这是root上的二叉搜索树，因此1..n恰好包含元素left，而1..(root-1)恰好包含元素right。< / p>

这意味着以下是必要且充分的条件：子树(root+1)..n和left的更大必须满足不等式

right

换句话说，2*(h-1) + 1 <= nodes(subtree) <= 2^h - 1 的可能值恰好是root满足

的所有值

1..n

更新。我盲目地看着我在维基百科上发现的不平等，却没有意识到它只适用于完整的二叉树。