嵌套for循环中的迭代次数？

Question

所以我从教科书中查看这段代码：

for (int i=0; i<N; i++)
   for(int j=i+1; j<N; j++)

作者指出，内部for循环完全迭代N *（N-1）/ 2次，但没有给出他如何达到这样一个等式的基础。我理解N *（N-1），但为什么除以2？我自己运行代码，当N为10时，内部循环迭代45次（10 * 9/2）。

我自己弄乱了代码并尝试了以下内容（仅将i分配给j）：

for (int i=0; i<N; i++)
   for(int j=i; j<N; j++)

当N = 10时，这导致55.所以我在这里理解基础数学有困难。当然，我可以插入所有的价值观，并通过问题强行解决问题，但我觉得有一些必要的东西，非常简单，我很想念。您如何想出一个用于描述我刚刚构造的for循环的等式？有没有办法在不依赖输出的情况下做到这一点？非常感谢任何帮助，谢谢！

Answer 1

考虑每次外循环迭代时会发生什么。第一次是i == 0，因此内部循环从1开始并运行到N-1，这总共是N-1次迭代。下一次通过外循环时，i已增加到1，因此内循环从2开始并一直运行到N-1，总计{{1}迭代。并且该模式继续：第三次通过外循环，您获得N-2次迭代，第四次通过，N-3等。当您到达外循环的最后一次迭代时，{{1因此内部循环以N-4开头并立即停止。所以这是零迭代。

迭代总数是所有这些数字的总和：

i == N-1

从另一个角度来看，这只是从j = N到(N-1) + (N-2) + (N-3) + ... + 1 + 0 的正整数之和。这个和的结果称为第（N-1）个三角数，Wikipedia解释了如何找到第n个三角形数的公式为n（n + 1）/ 2。但是在这里你有第（N-1）个三角形数字，所以如果你设置1，你就得到了

N-1

Answer 2

您正在查看嵌套循环，其中外部循环运行N次，内部循环运行(N-1)。你实际上加起来是1 + 2 + 3 + ....

N * (N+1) / 2是数学中的“经典”公式。年轻的卡尔·高斯，后来成为着名的数学家，被给予了课堂上的繁忙工作：将数字从1加到100。老师希望让孩子们忙碌一小时，但卡尔几乎立刻想出了答案：5050。他解释说：1 + 100; 2 + 99; 3 + 98; 4 + 97;等等达到50 + 51.这是50个，每个101。您还可以将其视为（100/2）*（100 + 1）;这就是/2的来源。

至于为什么它是（N-1）而不是我提到的（N + 1）...这可能与从1而不是0开始，这会从内循环中删除一次迭代，我认为

Answer 3

查看内部（j）循环为i的每个值运行多少次。当N = 10时，外（i）循环运行10次，并且j循环应运行0,1,2,3,4,5,6,7,8和9次。现在，您只需将这些数字相加，即可查看内循环运行的次数。您可以使用公式N（N-1）/ 2将0到N-1之间的数字相加。这是adding the numbers from 1 to N众所周知的公式的一个非常小的修改。

对于视觉辅助，您可以看到为什么 1 + 2 + 3 + ... + n = n *（n + 1）/ 2

Answer 4

如果计算内循环的迭代次数，则得到：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

要获得任意次数迭代的总数，您可以像这样“包装”数字：

0 1 2 3 4 
9 8 7 6 5

现在，如果我们添加每个列，则all添加到9（N-1），并且有5（N / 2）列。很明显，对于任何偶数N，我们仍然会得到N / 2列，每列加起来（N-1）。因此，当迭代总数是偶数时，迭代总数总是（N / 2）（N-1），这（由于交换属性）我们可以重写为N （N-1）/ 2。

如果我们在奇数次迭代中做同样的事情，我们就会有一个无法配对的“奇数”列。在这种情况下，我们可以忽略'0'，因为我们知道它在任何情况下都不会影响总和。例如，让我们考虑N = 9而不是N = 10。为此，我们得到：

1 2 3 4
8 7 6 5

这给了我们（N-1）/ 2列（9-1 = 8,8 / 2 = 4），每列加起来为N，因此总和将是N *（N-1）/ 2。尽管我们稍微有点不同，但是当N是偶数时，这与上面的公式完全匹配。同样，无论我们使用的列数（即迭代总数）如何，这似乎都是显而易见的。

对于任何N（奇数或偶数），从0到N-1的数字之和为N *（N-1）/ 2.