可以将任何有限状态自动机转换为正则表达式吗？

Question

我们假设我们有一个fsa如下：

fsa = {0:{'a': 1, else: 2},1:{'b': 1, else: 2},2:{else: 2}}

这意味着：在状态0，如果输入为'a'，则进入状态1，否则进入状态2;在状态1，如果输入为'b'，则进入状态1，否则进入状态2;在状态2，对于任何输入，它进入状态2.

假设，状态0是开始状态，状态1是接受状态，状态2是故障状态。 然后这个fsa可以翻译为正则表达式“ab *”。事实上，有一些算法可以将fsa转换为正则表达式，例如Br​​zozowski代数方法。

我的问题：上述表格中定义的任何fsa都可以翻译成正则表达式吗？有没有限制？

Answer 1

是的，它们在数学上是等价的。 'The equivalence of regular expressions and finite automata is known as Kleene's theorem.'

Answer 2

没有限制 - 所有有限状态自动机都等价于某些正则表达式，所有正则表达式都等同于某些有限状态自动机。

Answer 3

是的，它们是等价的。从wikipedia page on regular languages开始，这些都是常规语言的等效定义。

1. 它是正则表达式的语言
2. 它是非确定性有限自动机（NFA）接受的语言
3. 它是确定性有限自动机（DFA）接受的语言
4. 它可以通过常规语法生成
5. 它是交替有限自动机接受的语言
6. 它可以通过前缀语法生成
7. 它可以被只读的图灵机接受
8. 它可以用一元二阶逻辑定义（Büchi-Elgot-Trakhtenbrot定理）
9. 它被一些有限的幺半群识别出来，这意味着它是一个有限幺半群的子集的原像，在其字母表中的自由幺半群的同态下

Answer 4

是。每个有限自动机都有一个相应的正则表达式。克莱恩定理证明了这一结果。通过将有限自动机划分为若干较小有限自动机的并集，利用数学归纳原理证明了该定理。可以找到证据here。