Question

Multiply two numbers without using * operator, and with minimum number of additions

例如：如果输入为5 * 8，则可以使用以下方法之一添加较大数量的较小次数，这将是答案。但是，如何最大限度地减少添加次数？

Answer 1

~~最小化~~减少添加次数的一种策略是添加层次结构。这与经典功率算法中使用的策略相同，后者采用相同的技术来最小化乘法次数。

假设你需要

$rootScope.$on('$routeChangeSuccess', function(e, curr, prev) {
    if (Object.getPrototypeOf($route.current) === $route.routes['/Home']) {
         // do something when route changes to /Home
    }

    else if (Object.getPrototypeOf($route.current) === $route.routes['/About']) {
         // do something when route changes to /About
    }
}

计算M = a * 8 = a + a + a + a + a + a + a + a后，您可以将其替换为上述添加内容并获取

m2 = a + a

然后您可以计算M = m2 + m2 + m2 + m2并到达

m4 = m2 + m2

因此，结果是在M = m4 + m4次添加而非原始3中计算的。但是，向自身添加一个值可以替换为左移8位（如果允许），这大大减少了添加次数。

这种技术可以通过分析其中一个被乘数的二进制表示来优雅地实现（正如它通常在幂算法中实现的那样）。例如。如果您需要计算1，您可以这种方式进行计算

a * b

此类实现将使用的添加总数是int M = 0; for (int m = a; b != 0; b >>= 1, m <<= 1) if ((b & 1) != 0) M += m;中1位的总数。它将b乘以5加1。

请注意，为了实现此策略提供的最低添加次数，将较大的数字乘以较小的数字不一定是最佳选择。例如。乘以8使用的加法次数少于乘以8。

Answer 2

我喜欢Codor关于使用轮班和零添加的建议！

但是如果你真的只能使用加法而没有其他操作，如移位，日志，减法等，我相信计算a * b的最小数量将是：

min{int[log2(a+1)] + numbits(a), int[log2(b+1)] + numbits(b)} - 2

，其中

numbits（n）是二进制表示中的1的个数整数n
- 例如，numbits（4）= 1，numbits（5）= 2等
int [x]是float x
的整数部分
- 例如，int [3.9] = 3

现在，我们是如何到达那里的？首先看看你的原始例子。您至少可以将添加内容组合在一起。例如。

8+8=16
16+16=32
32+8=40

为了概括这一点，如果你需要通过仅使用使用a的加法或已经计算的加法结果来乘以b次，你需要：

int [log2（b + 1）] - 添加1个以计算所需的所有2 ^ n.a中间数。
- 在您的示例中，int [log2（5 + 1）] - 1 = 2：您需要2次添加才能计算16和32
numbits（b）-1加法将所有中间结果加在一起，其中numbits（b）是b的二进制表示中的1的数目。
- 在你的例子中，5 = 2 ^ 2 + 2 ^ 0所以numbits（5）-1 = 1：你需要增加一个来做32 + 8

有趣的是，这意味着你的陈述

add the bigger number smaller number of times

并不总是减少添加次数的方法。

例如，如果你需要计算2 ^ 9 *（2 ^ 9 - 1），你最好计算基于（2 ^ 9-1）的增加而不是2 ^ 9，即使2 ^ 9更大。最快的方法是：

x = (2^9-1) + (2^9-1)

然后

x = x+x

总共9次添加8次。

如果您将2 ^ 9添加到自身，则需要8次添加才能首先获得所有2 ^ k * 2 ^ 9，然后再增加8次添加以将所有这些数字加在一起，总共添加16次。 / p>

Answer 3

更好的例子是5 * 7。这本质上是使用旧方法的二进制乘法，但巧妙地选择了乘数。

如果我们可以使用左移并且不算作加法：选择位数较小的数字作为乘数。在这种情况下，这将是5。

  111
x 101
------
  111
 000x    <== This is not an addition, only a left shift
111xx
-------
100011   <== 2 additions totally.
-------

如果我们不能使用左移：请注意，左移与加倍/加法相同。然后我们将不得不使用略有不同的策略。由于被乘数将与(position of MSB - 1)移位相同的次数，因此加法的数量将是具有较小值(position of MSB - 1) + (number of bits set)的数字。如果是5 * 8，则值分别为(3-1) + 2 = 4和(4-1) = 3。较小的是8，因此将其用作乘数。

    101
 x 1000
 -------
    000
   000x  <== left shift
  000xx  <== left shift
 101xxx  <== left shift
--------
 101000  <== no addition needed, so 3 additions totally.
--------

以上有三个班次和零添加。

Answer 4

假设a与b相乘并且我们将结果存储在res中，我们只在b为奇数时才将res加到res中，否则将b除以2并将a乘以2.这是在循环中完成的b变为0.乘法和除法可以使用按位运算符完成。

让两个给定的数字为＆＃39; a＆＃39;和＆＃39; b＆＃39; 1）初始化结果＆＃39; res＆＃39;为0。 2）在＆＃39; b＆＃39;大于0 a）如果＆＃39; b＆＃39;是奇怪的，添加＆＃39; a＆＃39;到了＆＃39; res＆＃39; b）Double＆＃39; a＆＃39;和减半＆＃39; b＆＃39; 3）返回＆＃39; res＆＃39;。

如何最大限度地减少添加次数？

4 个答案: