切线范围适用于框中的所有点对

Question

假设我有一个包含很多积分的盒子。我需要能够计算通过所有可能的点对的所有线的最小和最大角度。我可以在O（n ^ 2）次中通过枚举每个点与其他所有点来完成它。但是有更快的算法吗？

Answer 1

考虑到Evgeny Kluev提出的双平面概念，以及我关于找到最左边交点的评论，我将尝试给出一个没有任何双重空间的等效直接解法。

解决方案很简单：按字典顺序按（x，y）对点进行排序。现在按排序顺序在每两个相邻点绘制一条线。可以证明，通过这些线之一实现最小角度。为了获得最大角度，您需要按字典顺序按（x，-y）排序，并且只检查相邻的点对。

让我们通过最小角度的想法来证明。考虑两个点 A 和 B ，它们产生最小可能的角度。在这些点中，我们可以选择 x 坐标差异最小的对。

1. 假设他们有相同的 y 。如果它们之间没有其他点，则它们相邻。如果它们之间有任何点，那么显然它们中的至少一个在我们的顺序中与 A 相邻，并且它们都产生相同的角度。

2. 假设在 A 和 B 之间存在一个带有x坐标的点 P ，即 Ax＆lt; ; Px＆lt; Bx的。如果 P 位于 AB 上，则 AP 具有相同的角度但 x 坐标的差异较小，因此存在矛盾。当 P 不在 AB 上时， AP 或 PB 会给你更少的角度，这也会产生矛盾

3. 现在我们将点 A 和 B 放在两条相邻的垂直线上。这些线之间没有其他要点。如果 A 和 B 是其垂直线上的唯一点，则 AB 对按排序顺序和QED明显相邻。如果这些线上有很多点，显然最小角度是通过取左边垂直线上的最高点（必须是 A ）和右边垂直线上的最低点（必须是乙）。由于我们按 y 对 x 的点进行排序，因此这两点也相邻。

Answer 2

对点进行排序（或使用哈希图）以确定是否存在任何水平线。

然后在双平面上解决这个问题。在这里，您只需要找到最左边和最右边的交叉点。使用二进制搜索来查找一对水平坐标，使得所有交叉点都在它们之间。 （您可以通过从这些坐标继续进行二进制搜索来快速找到近似结果。）

然后根据双平面上的切线对线条进行排序。并且对于按此排序顺序的相邻线对，找到最接近那些水平坐标的交点。在最坏的情况下（当原始平面上的某些线几乎是水平的时），这并不能保证良好的复杂性。但在大多数情况下，时间复杂度将通过排序来确定：O（N log N）+ O（binary_search_complexity）。