Question

我需要帮助找出解决这个问题的更好方法（也许更多数学问题！）。以下是详细信息：

问题陈述：

给定N和M，你需要找出有多少对a，b（1 <= a

约束：1＆lt; = N＆lt; = 10 ^ 9且2 <= M <= 10 ^ 9. 时间限制：1秒

在我的算法中，我已经循环N次，使其成为O（N）算法。这是代码：

#include <stdio.h> typedef unsigned long long ULL; int main() { int t,m,n,a; ULL ans=0; scanf("%d\n",&t); while(t--) // test cases { // Main logic scanf("%d %d",&n,&m); ans=0; for(a=1;a<n;a++) ans += (n+a)/m - (a*2)/m; printf("%llu\n",ans); } return 0; }

我只是检查在范围（2a，n + a）中可以被M整除的数量，其中1 =＆lt; a＆lt; ñ。如果您查看范围内所有（a，b）的总和，您就会知道我为什么选择（2a，n + a）。

然而，这种 O（N）方法并不是很快。对于N = 10 ⁹且M = 2，程序在12秒内打印答案为249999999500000000，这非常慢。还可以使用哪些其他方法？我想不出更好的方法。请帮忙！

Answer 1

而不是测试，你可以简单地计算。

让我们列出所有可能的对：

(1, N - (N+1)%M),
(1, N - M - (N+1)%M),
(1, N - 2*M - (N+1)%M),
...
(2, N - (N+1)%M - 1),
(2, N - M - (N+1)%M - 1),
(2, N - 2*M - (N+1)%M - 1),
...

（我们需要从元组的第二个元素中减去(N+1)%M，以使元素总和被M除尽。

更一般地说，给定N和M＆gt; 0，每对(a, b)与1 <= a < b <= N，a+b % M == 0必须具有以下形式：

(i+1, N - d*M - (N+1)%M - i)和0 <= d

的

0 <= i

现在你必须回答以下两个问题：

i的最大值是什么？
鉴于i，d的最大值是多少，即对于每个有效的i，有多少对(i+1, ...)确实存在？

一旦你发现了，你应该能够提出一个公式来确定恒定时间内有效对的数量。

Answer 2

ans = n / m * (n - 1)
    + (n / m) * (n / m - 1) / 2 * m
    + (n % m + m / 2) / m * (n - m + n % m)
    + (n - m + n % m) % m * (n / m)
    - (n / m) * (n / m - 1) * m
    - (m / 2) * (n / m)
    - (n % m) * (n / m * 2)
    - (n % m / ((m + 1) / 2)) * (n % m % ((m + 1) / 2));

可分对的范围

2 个答案: