Question

鉴于4x4三维变换矩阵，计算它是否比缩放和转换更好的最佳方法是什么？具体来说，我想知道它是否旋转或倾斜图像。

我正在使用Cocoa，因此可以使用像CoreGraphics和CoreAnimation这样的库。

Answer 1

查看具有如下编号的元素的矩阵：

[ a00 a01 a02 a03 ]
[ a10 a11 a12 a13 ]
[ a20 a21 a22 a23 ]
[ a30 a31 a32 a33 ]

缩放变换在元素a00，a11和/或a22中的值不是1.0。
翻译矩阵在元素a03，a13和/或a23中的值不是0.0。

如果这些是您期望的唯一转换类型，则所有其他值必须与单位矩阵匹配。

在最后一行中使用非同一性值相对较少，除非您以投影矩阵为例进行处理。如果所讨论的矩阵可能具有这种形式，那么您必须测试：

a30 == 0.0
a31 == 0.0
a32 == 0.0
a33 == 1.0

除此之外，您只需测试左上3x3矩阵的非对角线元素为零：

a01 == 0.0
a02 == 0.0
a10 == 0.0
a12 == 0.0
a20 == 0.0
a21 == 0.0

这些值中的任何一个都不为零会引入某种形式的旋转/倾斜。

与往常一样，请注意比较浮点值是否相等。如果它们从未设置为其他任何值，则上面的值将精确为0.0。但是如果矩阵是某种形式的计算的结果，你可能必须测试小于常数的值，而不是精确的0.0。

在测试矩阵值时，请注意矩阵按行或列主要顺序存储。例如，如果矩阵元素存储在数组中，则元素a03将按行主顺序位于索引3处，而按列主顺序位于索引12处。

Answer 2

如果您缺乏知识，请参阅Understanding 4x4 homogenous transform matrices

现在，如果您的转换只是：

旋转
- 然后轴保持彼此垂直
- 并且它们的大小保持不变（通常是单位向量）
- 但他们会轮换
缩放
- 仅更改轴方向矢量的大小
- 所以轴必须保持彼此垂直且不改变方向
翻译
- 这只是移动原始矢量
- 所有其余的都保持原样
歪斜
- 这打破了正交性
- 所以轴不会彼此垂直

如果你把它放在一起

缩放和平移应使轴与全局轴平行，所以：
1. 提取轴向量X,Y,Z
2. 使它们成为单位向量
3. 将它们与全局轴比较
4. 矩阵的投影部分应为P=(0,0,0,1) ...底行

类似的东西：

X/=|X|;
Y/=|Y|;
Z/=|Z|;

if ( fabs(fabs(dot(X,(1,0,0)))-1.0)
    +fabs(fabs(dot(Y,(0,1,0)))-1.0)
    +fabs(fabs(dot(Z,(0,0,1)))-1.0)
    +fabs(P.x-0.0)
    +fabs(P.y-0.0)
    +fabs(P.z-0.0)
    +fabs(P.w-1.0) > 1e-6) return "not just scaling&translation";

其中：

|X|=sqrt(X.x*X.x+X.y*X.y+X.z*X.z);
dot(X,Y)=(X.x*Y.x)+(X.y*Y.y)+(X.z*Y.z);

<强> [注释]

请注意您的矩阵形式我是OpenGL样式矩阵（列式）
如果你有行式矩阵，那么你需要转置......

检测4x4转换矩阵是否在Cocoa中进行扩展和转换

2 个答案: