Question

这是课程中的算法练习，练习第1部分。他们说答案是O（N log N）。我不明白为什么：

int sum = 0;
for (int i = 1; i <= N; i = i*2)
    for (int j = 1; j <= N; j = j*2)
        for (int k = 1; k <= j; k++)
            sum++;

有人可以告诉我内部循环运行的次数以及为什么答案是O（N log N）？

非常感谢您的帮助。

谢谢。

Answer 1

外部循环运行log（N）次。两个内部循环组合运行Sum_ {x = 1} ^ {log（N）} 2 ^ x次，其中每个加数表示中间循环的一次迭代。使用几何和公式，这使得总log（N）（1-2 ^（log（N）+1））/（1-2）= log（N）（2N-1）迭代，显然是O（N * logN）

Answer 2

让我们分析（将j重写为J）

for (int J = 1; J <= N; J = J*2)
    for (int k = 1; k <= j; k++)

假设N = 2^n。 J的值为2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^n。 k次循环执行J次，因此在J = 2^j时，它会执行2^j次。总的来说，我们有

2^0 + 2^1 + 2^2 + \ldots + 2^n

执行。但这是几何级数的总和所以总和是

2^0 (2^{n+1} - 1)(2 - 1) = 2^{n+1} - 1 = O(2^n) = O(N).

这个带有i的外圈会执行n = \log(N)次，我们总共有O(N\log(N))。

Answer 3

最外层循环的步骤呈指数级增长：

1 2 4 8 16 32 64 128 .... N

中间循环是相同的。

两者都有log(N)（基础2）步骤。

所以到目前为止你已经log(N) * log(N)了。

最里面的循环运行j次，其中j每次都由中间循环限制/给定。它运行log(N)次，迭代步长为1.这是一个系列：

j=1:      1
j=2:      1 2
j=4:      1 2 3 4
j=8:      1 2 3 4 5 6 7 8
j=16:     1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 16
...
j=N:      1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... N
======================================
1 + 3 + 10 + 36 + ... + (1+2+3+4+5+...+N)

所以你有log(N) * log(N) * N作为上限（事实上，最里面的循环比N运行的步骤少。）

因此最后你有O(N*log^2(N))。

我的分析不会产生O(N*log(N))，但并不意味着它不会。也许最内层循环的边界可以改进，因为我在这里简化了N作为所有循环的上限;我的意思是两个最里面的循环可能比O(N*log(N))更好。如果你能看到它们是O(N)，那么你就得到了解决方案。

为什么这段代码的运行时间为O（nlogn）？

3 个答案: