Question

我试图想出一些东西来解决以下问题：

给定一个表示为数组的max-heap，返回第k个最大元素而不修改堆。我被要求在线性时间内完成，但被告知可以在日志时间内完成。

我想到了一个解决方案：

使用第二个最大堆并用k或k + 1值填充它（宽度优先遍历到原始值）然后弹出k个元素并获得所需的值。我想这应该是O（N + logN）= O（N）

是否有更好的解决方案，可能是在O（logN）时间？

Answer 1

max-heap可以有很多种方式，更好的情况是完整的排序数组，而在其他极端情况下，堆可以有一个完全不对称的结构。

这里可以看到： enter image description here

在第一种情况下，第k个lagest元素位于第k个位置，您可以使用堆的数组表示在O（1）中计算。但是，通常，您需要检查（k，2k）元素，并对它们进行排序（或与另一个堆进行部分排序）。据我所知，它是O（K·log（k））

算法：

Input:
    Integer kth <- 8
    Heap heap <- {19,18,10,17,14,9,4,16,15,13,12}

BEGIN
    Heap positionHeap <- Heap with comparation: ((n0,n1)->compare(heap[n1], heap[n0]))

    Integer childPosition
    Integer candidatePosition <- 0
    Integer count <- 0
    positionHeap.push(candidate)
    WHILE (count < kth) DO
        candidatePosition <- positionHeap.pop();
        childPosition <- candidatePosition * 2 + 1
        IF (childPosition < size(heap)) THEN
            positionHeap.push(childPosition)
            childPosition <- childPosition + 1
            IF (childPosition < size(heap)) THEN
                positionHeap.push(childPosition)
            END-IF
        END-IF
        count <- count + 1
    END-WHILE
    print heap[candidate]
END-BEGIN

EDITED

我在Frederickson找到了“最小堆中的最佳选择算法”： ftp://paranoidbits.com/ebooks/An%20Optimal%20Algorithm%20for%20Selection%20in%20a%20Min-Heap.pdf

Answer 2

不，没有O（log n）-time算法，通过简单的单元探测下限。假设k是2的幂（不失一般性）并且堆看起来像（min-heap incoming，因为它更容易标记，但没有真正的区别）

      1
   2     3
  4 5   6 7
.............
permutation of [k, 2k).

在最坏的情况下，我们必须读取整个排列，因为堆没有强加的顺序关系，并且只要找不到k，它就可以在尚未检查的任何位置。这需要时间Omega（k），匹配templatetypedef发布的（复杂！）算法。

Answer 3

据我所知，没有简单的算法来解决这个问题。我所知道的最好的算法是由弗雷德里克森引起的并不容易。您可以查看论文here, but it might be behind a paywall.它在时间O（k）中运行，并且声称这是最佳时间，因此我怀疑不存在对数时间解决方案。

如果我找到比这更好的算法，我一定会让你知道。

希望这有帮助！

Answer 4

数组中的最大堆：element at i is larger than elements at 2*i+1 and 2*i+2（i从0开始）

您需要另一个最大堆（insert，pop，empty），其元素对(value, index)按value排序。伪代码（没有边界检查）：

input: k
1. insert (at(0), 0)
2. (v, i) <- pop and k <- k - 1
3. if k == 0 return v
4. insert (at(2*i+1), 2*i+1) and insert (at(2*+2), 2*+2)
5. goto 2

运行时评估

在（i）的数组访问：O（1）
插入堆：O（log n）
插入4.最多需要log（k），因为对的堆大小最多为k + 1
声明3.最多达到k次
总运行时间：O（k log k）

最大堆中的第K个最大元素

4 个答案: