给定DAG的邻接列表Map<Vertex, Set<Vertex>>
,我想计算每个顶点的可达性(即,是否存在从u到v的路径)。
static Map<Vertex, Set<Vertex>> reachability(Map<Vertex, Set<Vertex>> adjList) {}
我知道可以在O(V^3)
// Convert adjList to adjacency matrix mat
void reachability(boolean mat[][]) {
final int N = mat.length;
for (int k = 0; k < N; k++)
for (int i = 0; i < N; i++)
for (int j = 0; j < N; j++)
mat[i][j] |= mat[i][k] && mat[k][j];
}
但是我有一个稀疏图(和一个邻接列表),那么最快的方法是什么?
答案 0 :(得分:1)
O(V*(V+E))
解决方案可以是从图中的每个节点做一个简单的BFS并计算其可达性集。假设|E| << |V|^2
(你说图表被解析),这比floyd-warshall快得多(并且编码更简单)。
然而,这仍然不是最理想的,可以改进:
您的图表是DAG,因此您可以先在O(V+E)
中执行topological sort,然后从最后到第一个:
connected(v)= union {connected(u)|对于所有边缘(v,u)} U {v}
这可以非常有效地计算,并在时间复杂度O(|V|+|E|+k)
中给出总答案,其中| V | - 顶点数,| E | - 边数,k - 连接对的数量(在最坏的情况下限于O(|V|^2)
)。
此解决方案为您提供O(|V|^2)
最差情况下的表现,即使对于没有解析过的图表也是如此。
伪代码:
V = [v0,v1,...,vn-1]
V = topological_sort(V) //O(V+E)
connect = new Map:V->2^V //Map<Vertex,Set<Vertex>> in java
i = n-1
while (i >= 0):
let v be the vertex in V[i]
connected[v].add(v)
for each edge (v,u):
//since the graph is DAG, and we process in reverse order
//the value of connected[u] is already known, so we can use it.
connected[v].addAll(connected[u])
答案 1 :(得分:0)
这是Scala中的简单O(|V||E|)
解决方案(基本上,对于每个顶点,执行DFS):
type AdjList[A] = Map[A, Set[A]]
def transitiveClosure[A](adjList: AdjList[A]): AdjList[A] = {
def dfs(seen: Set[A])(u: A): Set[A] = {
require(!seen(u), s"Cycle detected with $u in it")
(adjList(u) filterNot seen flatMap dfs(seen + u)) + u
}
adjList.keys map {u =>
u -> dfs(Set.empty)(u)
} toMap
}
此处的可执行版本:http://scalafiddle.net/console/4f1730a9b124eea813b992edebc06840