Question

到目前为止，这是我的代码，我认为我可以使用scipy，但它没有给出正确答案的二阶导数，时刻（0,2）。我的猜测是我没有正确地应用scipy.misc.derivative而且我应该使用sympy的diffs_exp，但是我无法使用它...

from scipy import misc
import numpy as np

def mgf(s):
    mu = 2
    sigma = 0.5
    mgf = np.exp(mu*s + ((sigma**2)*(s**2))/2)
    return mgf

def moment(s, i): 
    mo = misc.derivative(mgf, s, dx=0.000000001, n=i)
    return mo

时刻（s，i）在i = 1时正确评估，但在i> 1时则不正确。 moment（0,2）应该等于sigma ^ 2或.25但函数当前返回0.0

该函数仅在s = 0时进行评估，更重要的部分是区分是正确的。

Answer 1

为有限差分方案选择一个好的步长是一个棘手的业务。太小的步骤，你注定因为四舍五入错误（正如你所发现的那样）。太大的步骤，并且计划太粗糙（正如您所发现的那样）。 BTW，scipy.misc.derivative的默认步骤不是很有用。有一些关于如何选择合理步骤的文献。例如，Numerical Recipes简要介绍了一个简单的方案。

在这种特殊情况下，找到合理的步骤相当容易：

In [41]: from scipy.misc import derivative

In [42]: def f(x):
   ....:     arg = 2.*x + (0.5*x)**2 / 2.
   ....:     return np.exp(arg)
   ....: 

In [53]: derivative(f, 0., dx=1e-5, n=2)
Out[53]: 4.2499981312005266

另一种方法是使用一个更聪明的步长选择的包（互联网/文献搜索的一个关键字是Romberg外推）。例如，numdifftools：

In [57]: import numdifftools as nd

In [59]: fdd = nd.Derivative(f, n=2)

In [60]: fdd(0)
Out[60]: array([ 4.25])

Answer 2

以下是如何使用sympy进行符号化处理，并以数字方式评估特定mu，sigma和s

的结果

In [1]: from sympy import *

In [2]: mu, sigma, s = symbols("mu sigma s")

In [3]: expr = exp(mu*s+(sigma*s)**2/2)

In [4]: f = lambdify((mu, sigma, s), expr.diff(s, 2))

In [5]: f(2, 0.5, 0)
Out[5]: 4.25

Answer 3

所以我在误读了早期答案中的问题（自删除后）后，在源代码中弄乱了。

Scipy misc.derivative默认计算二阶导数为

lim h-> 0（f（x + h）-2 * f（x）+ f（x-h））/ h ^ 2

这里出现的问题是因为np.exp（）的输出是float64，它的精度有限，即尾数为52位，指数为11位。当我们减小dx时，术语之间的差异出现在更高阶的数字中，由于精度有限，因此不存在。在总结时，这消失为零。

作为参考，在上面的函数中，值是对于f（x + h），f（x），f（x-h）分别为0.999999998,1,1000000002，其中x = 0且h = 1e-9。解决方案可能是使用具有更高精度的任一函数，但这将涉及更改scipy源代码并且不是一项小任务。（Python pow函数不是任意精度）

其他（实用）选项是为dx使用较小的值。 dx = 1e-2似乎实际上给出了足够接近的答案，即4.2501848996，而4.25是实际的二阶导数。

如何在python中计算矩生成函数的导数？

3 个答案: