找到垂直于目标点的3D线上的交点

Question

我有一条线和一条点，如果我要从这个交点与另一个点画一条线，我想在90度或垂直的线上找到一个点(x,y,z)。

到目前为止，我可以使用此代码创建一行，并且我有另一个代码来计算三点之间的角度，但这并不适用于此：

a = [1 1 2]; %line
b = [20 28 90]; % line

c = [50 30 67]; %point 

ab = b - a;


n = max(abs(ab)) + 1;

s = repmat(linspace(0, 1, n)', 1, 3);
for d = 1:3
    s(:, d) = s(:, d) * ab(d) + a(d);
end


s = round(s);


Z = 100; 
N = 100;
X = zeros(N, N, Z);

X(sub2ind(size(X), s(:, 1), s(:, 2), s(:, 3))) = 1;


x = c(:,1);


clf

plot3(s(:, 1), s(:, 2), s(:, 3), 'r.-')


axis(N * [0 1 0 1 0 1])
grid on

Answer 1

这需要一些数学来分析确定。通过“90度”，我假设您想要在此3D线上找到与此线垂直的点，如果您将此线从此交点延伸到所需点。

我假设两个点a和b表示3D空间中的坐标，其中一条线可以连接它们，而c是感兴趣的点。这是我正在谈论的更好的图表：

^{来源：MathWorld}

在您的情况下，x1和x2代表代码中的a和b，x0代表c。距离d将是线上的距离，如果您将一条线从交点延伸到点c，则该点将允许该点垂直于此线。

您可以定义一个参数方程式来描述x1和x2之间的界限，如下所示：

x1和x2之间的这一行上的一个点可以通过获取(x,y,z)和x1的每个x2值并将其写入上面的参数形式并改变参数t，它来自[0,1]。因此，t=0会为您提供第一个点x1或a，而t=1会为您提供第二个点x2或b。 t之间[0,1]之间的任何值都会为您提供一个点。目标是找到最小化从t或x0到此行的距离的值c。就像我之前说过的那样，我们都知道几何学中，如果你从这个交点到一个点x0或{{}}，那么从点到线的最小距离会使交叉角垂直/ 90度。 {1}}。

因此，您所要做的就是找到c的这个值，然后将其替换为上面的参数方程式以找到您想要的点。换句话说，我们想要最小化点和线之间的距离，距离可以这样描述：

要找到最小距离，您会找到参数t，通过查找与t相关的导数并将其设置为等于0来最小化上述等式。从逻辑上讲，您将采用等式的平方根，这样你就可以最小化距离，而不是距离的平方。然而，实际上更容易将距离平方最小化，这就是为什么上面的等式如此表示的原因。这是有道理的，因为如果你最小化距离平方......距离也会被最小化，因为你只是在答案上放置一个平方根来得到你所要求的。从等式中消除平方根将使计算导数变得更容易。

如果你这样做，并求解t，我们得到这个等式：

因此，找出t和a之间的差异，将其与带有c和b之差的点积，然后将其除以幅度平方a和b之间的差异。这解决了a，然后您将其替换为上述参数方程式以找到您的观点。

在MATLAB代码中，它看起来像这样：

t

a = [1 1 2]; %line - x1 b = [20 28 90]; % line - x2 c = [50 30 67]; %point - x0 ab = b - a; %// Find x2 - x1 %// -(x1 - x0).(x2 - x1) / (|x2 - x1|^2) t = -(a - c)*(ab.') / (ab*ab.'); %// Calculate t %// Find point of intersection Xinter = a + (b - a)*t; 的代码我利用了矩阵乘法。点积可以通过将行数组乘以列数组并以类似的方式找到，如果行数组和列数组具有相同的系数，则会得到向量的幅度平方。

对于您的示例，我们得到：

t

为了证明这是正确的，让我们绘制直线，点和交点：

产生上图的代码是：

Xinter =

   16.9889   23.7211   76.0539