Question

我正在使用计算机图形学。

我想用两个端点表示一行，然后我希望我的Line2d类有一个返回Vector2d对象的方法。

假设我有以下几个类：

struct Point2d
{
    int x;
    int y;
};

然后，我可以使用两个点轻松表示一个线段：

class LineSegment2d
{
private:
    Point2d start;
    Point2d end;
public:
    ...
    ...
};

根据定义，矢量由幅度和方向组成。

class Vector2d
{
private:
    Point2d p;
public:
    double Magnitude(void);
    Point Component(void);
    Vector2d Normal();
    Vector2d & Add(Vector & rhs);
    Vector2d & Subtract(Vector & rhs);
    Vector2d & Multiply(int scalar);
    int DotProduct(Vector2d rhs);
    Vector2d & CrossProduct(Vector2d rhs);
};

Point2d的一个对象足以表示向量。例如，向量的大小= sqrt(p.x*p.x + p.y*p.y);。并且，p.x和p.y共同代表了方向。

另一方面，我们知道通过(x0,y0,z0)的直线的矢量方程为r =r0 + tv 哪里， r是主题行的向量。 r0是一个位置向量，指向点(x0, y0, z0)的方向。由于r0是位置向量，显然r0的原点是(0,0,0)。 t是任何实数编号的值，其中−∞<t<∞ –。 v是一个与我们的主题直线平行的向量。

点P(1, 3, 2)和Q(-4, 3, 0)之间的线段的矢量方程：

根据上面的公式，线PQ的矢量方程可以是

r =<1,3,2> + tv

或，

r =<-4,3,0> + tv

连接两个点P和Q的向量是

PQ  = <(-4-1), (3-3), (0-2)>
    = <-5, 0, -2>

而且，这个向量肯定与我们的主题行平行。

所以，我们可以写，

r   =<1, 3, 2> + t <-5, 0, -2>
    =<1, 3, 2>+<-5t, 0, -2t>
    = <(1-5t), (3+0), (2-2t)>
    =<1-5t, 3, 2-2t>

根据线段的矢量方程，我认为，我的Vector类应该如下所示：

class LineVector2d
{
private:
    Vector2d v;
    double t;
public:
    ..........
};

这是正确的表示吗？

如果是这样，我如何计算/设置/找到t的值？

Answer 1

有many forms of line representation。

如果你的意思是行（不是段），那么，你可能会发现使用包含BasePoint和UnitDirectionVector的类/结构很方便。

对于线段，请选择（Point pt0, Point pt1）表单和（Point pt, Vector v = pt1 - pt0）表单。

第二个更适合参数化方法，如， X = P0.X + t * D.X等。

Answer 2

如果要将线段转换为矢量，则必须注意转换没有“通用语义”，您可以自行定义转换的含义。也就是说，我假设你想要一个具有相同（欧几里得）范数的向量作为线段的长度并指向相同的方向，即类似这样的东西：

class LineSegment2d
{
   ....
   Vector2d getVector() const {
      return Vector2d(end) - Vector2d(start);
   }
};

换句话说，将线段偏移到坐标系的原点。然后可以将终点转换为矢量。

编辑：在了解了你想要这个的原因之后，你可能正在寻找另一种表现形式

class LineSegment2d
{
   ....
   Vector2d getVector() const {
      return Vector2d(end);
   }
};

这将为每个线段提供一个向量：终点。如果您的多边形由连接的线段组成，则会为您提供多边形中的所有顶点。

Answer 3

使用问题中的线段表示。

我会为包含起点LS(a,b)和终点a的线段写b。

现在给出两个这样的段LS(a,b)和LS(c,d)相交（在你的上下文中，一个来自剪裁多边形，一个来自被剪裁的多边形;我假设你知道如何确定这个）。

您似乎想要回答的是，如果此交叉点在穿过边LS(c,d)时LS(a,b)到达多边形内部。

为此，确定线段方向之间的角度就足够了。这与向量v = b-a和w = d-c之间的角度相同。

此外，你甚至不需要角度，你只需要看角度是正还是负;所以看看向量w-v。如果LS(c,d)越过LS(a,b)到内部，则此向量将位于下半平面中。如果LS(c,d)与LS(a,b)交叉到外部，则此向量将位于上半平面中。

确定下半平面的上半部分意味着查看end-start的第二个坐标。

为文本墙道歉，但mathjax在此网站上似乎不活跃。也没有代码，但我相信（如果我没有犯任何错误）我提到的所有操作都很容易翻译成代码。

Answer 4

如果你想要非常数学，也许这会有所帮助：https://en.wikipedia.org/wiki/Homogeneous_coordinates

在2d中，这意味着位置是（x，y，1）和方向（dx，dy，0）。其原因是投影，这在2d中很少见，但在3d中很常见。

所以试着回答：一直使用4个分量向量。位置w = 1，方向a w = 0。

尝试使用基于两点A和B的线，两者都有w = 1。从A到B的向量是B-A，其最终为w = 0。

除非您最终优化特殊情况，否则您在代码中使用的内容确实很重要。只需寻找最小的数据结构。开始和结束应该没问题。

也许想想索引：所有顶点的平面数组和每一行只是顶点数组中的两个索引。

Answer 5

我认为由于以下内容存在一些混淆

根据定义，矢量由幅度和方向组成。

表示矢量的方法不止一种。我认为在你的问题中，你的意思是矢量可以用幅度（标量）和表示方向的单位矢量来表示。向量可以只是一个有序的三元组（三维），表示幅度（sqrt(x^2 + y^2 + z^2)）和来自原点的方向。

我认为你的问题的答案是，你不需要计算t。如果我弄错了，请纠正我，但我认为你将t解释为量级？您可以使用v从sqrt(x^2 + y^2 + z^2)计算出来，但v可以将量值和方向同时保持为有序三元组。

修改

template <typename T> struct Point2d { T x; T y; Point2d operator + (const Point2d<T>& rhs) const { return Point2d<T>{x + rhs.x, y + rhs.y}; } Point2d operator - (const Point2d<T>& rhs) const { return Point2d<T>{x - rhs.x, y - rhs.y}; } // ... Point2d operator * (const T value) const { return Point2d<T>{x*value, y*value}; } Point2d operator / (const T value) const { return Point2d<T>{x/value, y/value}; } // ... }; template <typename T> class Vector2d { private: Point2d<T> p; public: Vector2d(const Point2d<T>& point) : p{point} {} /*double Magnitude(); Point2d<T> Component(); Vector2d Normal(); int DotProduct(Vector2d rhs); Vector2d& CrossProduct(Vector2d rhs);*/ Vector2d operator + (const Vector2d<T>& rhs) const { return p + rhs.p; } Vector2d operator - (const Vector2d<T>& rhs) const { return p - rhs.p; } // ... Vector2d operator * (const T value) const { return p*value; } Vector2d operator / (const T value) const { return p/value; } // ... }; template <typename T> class LineVector2d { private: Point2d<T> p; Vector2d<T> v; public: LineVector2d() = default; LineVector2d(const Point2d<T>& point, const Vector2d<T>& direction) : p{point}, v{direction} {} /// Returns the point on the line for the time/value `t` Point2d<T> valueAt(T t) { return p + v*t; } };

Answer 6

您对班级LineSegment2d的陈述很好。但是类Vector2d的表示是不正确的。这是因为您只考虑那些通过原点的矢量。 2d平面上的矢量可以用与3d空间中相同的方式用3个分量表示。矢量的3个分量是：方向，幅度和它通过的A点。如果我们为3d空间定义x，y和z轴，那么对于xy平面中的一个点，z分量等于0.此外，3d空间中的方向以方向余弦的形式定义（即，余弦的余弦。矢量和轴之间的角度）。因此，对于x-y平面中的向量，向量和z轴之间的角度余弦等于零（因为角度= 90度）。

如何在C ++中表示线段的矢量方程？

6 个答案: