Question

阅读this问题让我思考：对于给定的函数f，我们怎么知道这种形式的循环：

while (x > 2)
   x = f(x)

会停止任何值x吗？有一些简单的标准吗？

（f(x) < x的{{1}}似乎没有帮助，因为该系列可能会收敛。）

具体来说，我们可以为x > 2和sqrt

证明这一点

Answer 1

对于这些功能，ceil(f(x))<x x > 2的证明就足够了。你可以做一次迭代 - 得到一个整数，然后通过简单的归纳进行。

对于一般情况，最好的想法是使用well-founded induction来证明这个属性。然而，正如Moron在评论中指出的那样，在一般情况下这可能是不可能的，在许多情况下，正确的排序很难找到。

编辑，回复Amnon的评论：

如果你想使用有根据的归纳法，你必须定义另一个严格的命令，这是有根据的。如果您提到的功能并不难：您可以x << y当{且仅ceil(x) < ceil(y) <<，其中sqrt是此新订单的符号。当然，这个顺序对于大于2的数字是有充分根据的，并且log和{{1}}都在减少 - 所以你可以应用有根据的归纳。

当然，在一般情况下，这样的订单更难以找到。这在某种程度上也与Hoare logic中的完全正确性断言有关，您需要在每个循环结构上保证类似的义务。

Answer 2

当迭代序列收敛时，有一个一般定理。（收敛序列可能不会在有限数量的步骤中停止，但它越来越接近目标。你可以通过在序列中走得足够远而尽可能接近目标。）

如果f是收缩映射，则序列x，f（x），f（f（x）），...将收敛。即，存在正常数k＆lt;这样，对于所有x和y，| f（x） - f（y）| ＆lt; = k | x-y |。

Answer 3

（对于x> 2的f（x）＆lt; x似乎没有帮助，因为该系列可能会收敛）。

如果我们在这里谈论花车，那不是真的。如果所有x > n f(x)严格小于x，则在某个时间点会达到n（因为任意两个数字之间只有有限数量的浮点值）

当然这意味着您需要使用浮点运算证明f(x)实际上小于x（即证明它小于x在数学上是不够的，因为那时f(x) = x当差异不足时，浮动可能仍然是真的。）

Answer 4

没有通用算法来确定函数f和变量x是否会在该循环中结束。暂停问题可以解决这个问题。

对于sqrt和log，我们可以安全地做到这一点，因为我们碰巧知道这些函数的数学属性。比如，sqrt接近1，log最终变为负数。所以条件x < 2在某些时候必须是假的。

希望有所帮助。

Answer 5

在一般情况下，所有可以说的是，当遇到x _i≤2时，循环将终止。这并不意味着序列会收敛，也不意味着它被限制在2以下。它只意味着序列包含一个不大于2的值。

也就是说，任何包含收敛到严格小于2的值的子序列的序列将（最终）停止。这就是序列x _{i + 1} = sqrt（x _i）的情况，因为x收敛于1.在y _{i + 1 <的情况下/ sub> = log（y _i），在为 R 的元素变为未定义之前，它将包含一个小于2的值（尽管它在扩展复平面上定义良好）， C * ，但我不认为它会一般收敛，除了可能存在的任何稳定点（即z = log（z））。最终这意味着你需要对序列进行一些前期分析，以更好地理解其行为。}

将序列x _i收敛到点z的标准测试是给出ε＆gt;在0中，存在n，使得对于所有i> n，| x _i - z | ＆LT; ε。

另外，请考虑Mandelbrot Set， M 。对 M 中元素的 C 中特定点c的测试是序列z _{i + 1} = z _{i < / sub> ² + c是无界的，只要有| z _i |就会出现这种情况。＆GT; 2. M 的某些元素可能会收敛（例如0），但很多元素不会收敛（例如-1）。}

Answer 6

不确定。对于所有正数x，以下不等式成立：

 log(x) <= x - 1

（这是真实分析的一个非常基本的结果;它足以观察log的二阶导数对于所有正x总是负的，所以函数是向下凹的，并且{ {1}}与x-1处的函数相切。从此基本上可以看出，您的x = 1循环必须在第一个while步骤中终止 - 尽管实际上它终止的速度远远快于此。

类似的论点将确定ceil(x) - 2的结果;具体来说，您可以使用以下事实：

f(x) = sqrt(x)

所有正面sqrt(x) <= x/(2 sqrt(2)) + 1/sqrt(2)。

如果你问这个结果是否适用于实际程序，而不是数学上，答案会有点细微差别，但并不多。基本上，许多语言实际上对x函数没有硬性准确度要求，因此如果您的特定语言实现具有绝对可怕的数学库，则此属性可能无法保持。也就是说，它需要是一个非常非常糟糕的库;该属性适用于log的任何合理实施。

Answer 7

我建议阅读提供有用指针的this wikipedia entry。没有关于f的额外知识，没有什么可说的。

重复应用功能

7 个答案: