Question

考虑以下对最小二乘逆问题的正规方程的加权解：

m = inv(G'*W'*W*G)*G'*W'*W*d

我想设置加权矩阵W，这是一个方形对角矩阵，对角线上有权重。

由于我在d（10⁷）中有大量数据点，我的系统矩阵G也很大，但只在一个维度上（因为我有比模型参数多得多的数据点）。在6个模型参数的情况下，G的大小（10⁷×6）。因此，W必须大小（10⁷×10⁷）。但是，它很稀疏，只有10⁷非零项（权重）。

为减少记忆，我在W上使用稀疏。

要分配权重，我会执行以下操作

d = [d1;d2];   
W = sparse(length(d),length(d)) 
w1 = length(d2)/length(d);
w2 = length(d1)/length(d);
W(1:length(d)+1:length(d)*length(d1)) = w1;
W(length(d)*length(d1)+1:length(d)+1:end) = w2;

d1和d2是带有观察值的列向量。

这将为对角线分配权重，但速度非常慢。

我的问题：

我可以

吗？

以某种方式加速对角线的权重分配，或
重写m = inv(G'*W'*W*G)*G'*W'*W*d，以便我根本不需要设置W？

注1：显示的权重是两个不同的常数，但实际上它们会因对角线的不同而变化！

注2：代码的瓶颈确实设置了W，而不是反转本身，因为反转矩阵只有大小（6×6）。

Answer 1

根据W的结构，我认为将G分成两半并使用W计算产品作为标量产品更有效：

G1 = G(1:length(d1),:);
G2 = G(length(d1)+1:end,:);

m = (w1^2*G1'*G1 + w2^2*G2'*G2) \ (w1^2*G1'*d1 + w2^2*G2'*d2);

此外，通常使用A \ b代替inv(A)*b（即使A很小）。

在MATLAB中有效地设置稀疏矩阵用于矩阵求逆

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