Question

问题在于：

给定一组整数k > 1和另一个整数A，是否可以将x分成两个子集，其总和分别为y和(x - y) mod k = 0 ，其中O(2^N)

很明显，通过列出所有可能的分区，存在时间复杂度count算法，但是有更高效的分区吗？或者这相当于subset sum problem？

Answer 1

这实际上相当于子集和，并且可以使用DP解决方案有效地解决（伪多项式时间），因为您的数字是整数。

一个简单的解决方案是使用子集sum的动态规划解决方案：

D(0,i) = true     i >= 0
D(x,0) = false    x != 0
D(x,i) = D(x-arr[i],i-1) OR D(x,i-1)

通过构建DP表（自下而上的解决方案），完成后您需要做的就是检查是否有x这样：

D(x,n) = true, abs(x-(SUM-x)) % k = 0
Where:
n - number of elements
SUM = arr[1] + arr[2] + ... + arr[n]
k - the given integer for mod
(x-y) % k = (x-(SUM-x)) % k

但是，对于较小的k值，您可以将其优化为O(n*k)（而非O(n*SUM)。这仍然是伪多项式时间，但如果{{ {1}}。

首先请注意k << SUM，并且您正在寻找一个总和为x-y = x-(SUM-x) = 2x-SUM的子集，以便x。

一个简单的优化是仅对大小2x - SUM % k = 0执行DP表，如下所示：

(k+1) * (n+1)

上述情况属实，因为D(0,i) = true i >= 0 D(x,0) = false x != 0 D(x,i) = D((x-arr[i])%k,i-1) OR D(x,i-1)（其中负数的％k被定义为complementary modulus。

现在，当您完成设置表格后，您可以搜索是否有(a-b)%k = (a%k - b%k)%k x。这是有效的，因为对于总和为((2x)%k - SUM%k) %k == 0的每个子集：

部分和的可分性和整数的差异

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