给定一个2维平面，其中有n个点。我需要生成一个划分平面的线的方程，使得一侧有n / 2个点，另一侧有n / 2个点。 （顺便说一下，这不是家庭工作，我只是想解决问题）
答案 0 :(得分：26)
我认为这些点是截然不同的，否则甚至可能没有这样的界限。
如果点是不同的，则这样的行总是存在，并且可以使用确定性 O（nlogn）时间算法找到。
说点是P1，P2，...，P2n。假设他们并非都在同一条线上。如果是，那么我们就可以很容易地形成分裂线。
首先翻译点，使所有坐标（x和y）都为正。
现在假设我们神奇地在y轴上有一个点Q，这样那些点（即任何无限线Pi-Pj）形成的线都没有通过Q.
现在由于Q不在点的凸包内，我们可以很容易地看到我们可以通过穿过Q的旋转线来对点进行排序。对于某个旋转角度，一半点将位于一侧并且另一半将位于该旋转线的另一侧，或者换句话说，如果我们考虑通过线Pi-Q的斜率对点进行排序，我们可以选择（中位数）th和（中位数）之间的斜率+1）点。这种选择可以在O（n）时间内通过任何线性时间选择算法完成，而无需对点进行实际排序。
现在选择Q点。
说Q是（0，b）。
假设Q与P1（x1，y1）和P2（x2，y2）共线。
然后我们有了
（y1-b）/ x1 =（y2-b）/ x2（注意我们翻译了这些点，使得xi> 0）。
解决b给出
b =（x1y2 - y1x2）/（x1-x2）
（注意，如果x1 = x2，则P1和P2不能与Y轴上的点共线）。
考虑| b |。
| B | = | x1y2 - y1x2 | / | x1 -x2 |
现在让xmax为最右边的x坐标，ymax为最顶边的坐标。
同样让D为两点之间的最小非零x坐标差（这是存在的，因为并非所有的x都是相同的，因为并非所有点都是共线的。）
然后我们有| b | ＆lt; = xmax * ymax / D.
因此，选择我们的点Q（0，b）为| b | ＆GT; b_0 = xmax * ymax / D
D可以在O（nlogn）时间内找到。
b_0的大小可能会变得非常大，我们可能不得不处理精确问题。
当然，更好的选择是随机挑选Q！如果概率为1，您将找到所需的点，从而使预期的运行时间为O（n）。
如果我们能找到一种在O（n）时间内选择Q的方法（通过找到其他一些标准），那么我们就可以在O（n）时间内运行该算法。
答案 1 :(得分：10)
在该平面中创建任意一条线。将每个点投射到每条点的a.k.a线上，得到该线上最接近该点的点。
在任一方向沿线排序这些点，然后在该线上选择一个点，使得该线上任意一个方向上的点数相等。
使线垂直于穿过该点的第一条线。这条线的两边都有原点的一半。
在执行此操作时，有些情况需要避免。最重要的是，如果所有点都在一条线上，则不要选择穿过它的垂直线。事实上，选择那条线本身就不必担心投射点了。就这背后的实际数学而言，vector projections将非常有用。
答案 2 :(得分：4)
这是Dividing a plane of points into two equal halves的修改，允许重叠点的情况（在这种情况下，它会说明答案是否存在）。
If number of points is odd, return "impossible".
Pick a random line (two random points)
Project all points onto this line (`O(N)` operation)
(i.e. we pretend this line is our new X'-axis, and write down the
X'-coordinate of each point)
Perform any median-finding algorithm on the X'-coordinates
(`O(N)` or faster-if-desired operation)
(returns 2 medians if no overlapping points)
Return the line perpendicular to original random line that splits the medians
In rare case of overlapping points, repeat a few times (it would take
a pathological case to prevent a solution from existing).
与其他提议的解决方案不同，这是O(N)。
假设存在解决方案，上述方法可能会终止，但我没有证据。
尝试上述算法几次，除非您检测到重叠点。如果您检测到大量的重叠点，您可能会陷入困境，但是有一种非常低效的强力解决方案需要检查所有可能的角度：
For every "critical slope range", perform the above algorithm
by choosing a line with a slope within the range.
If all critical slope ranges fail, the solution is impossible.
临界角定义为可能改变结果的角度（想象解决前一个答案，旋转整个点集，直到一个或多个点与一个或多个其他点交换位置，越过分界线这些中只有有限的很多，我认为它们受到点数的限制，所以如果你有重叠点，那么你可能正在寻找O(N^2)-O(N^2 log(N))范围内的某些东西，这是一种蛮力的方法。
答案 3 :(得分：1)
我猜想一个好方法是对点进行排序/排序/排序（例如从左到右），然后选择一条穿过（或在）序列中间点[s]之间的线。
答案 4 :(得分：1)
有明显的情况是无法解决问题。例如。当你有三堆积分时。位置A的一个点，位置B的两个点和位置C的五个点。
如果你期望得到一些不错的分布，你可以用tlayton的算法得到一个好的结果。要选择初始线倾斜，可以确定整个点集的范围，并选择最大对角线的角度。
答案 5 :(得分：1)
median以与你想要完成的方式类似的方式平均分割一组数字，并且可以使用selection algorithm在O（n）时间内计算（写入Cormen等人更好，所以你可能想看看那里）。因此，找到你的x值的中位数M x （或你的y值M y ，如果你愿意的话）并设置x = M x （或y = M y ）并且该线将轴向对齐并平均分割您的点。
如果您的问题的性质要求线上不超过一个点（如果您的集合中有一个奇数点，至少其中一个将在线上）并且您发现发生了什么（或者您只是想防范这种可能性），将所有点旋转一些随机角度θ，并计算旋转点的中位数。然后，您可以旋转由-θ计算的中间线，它将平均分割点。
随机选择θ使得问题再次出现的可能性非常小，且点数有限，但如果确实如此，则尝试使用不同的θ。
答案 6 :(得分：0)
我不知道这是多么有用我见过类似的问题...
如果您已经有方向向量（也就是平面尺寸的系数）。
然后，您可以在该平面内找到两个点，只需使用中点公式即可找到该平面的中点。
然后使用该平面的系数和中点，您可以使用平面的一般方程找到距离两个点的距离相等的平面。
然后，一条线将构成用另一个表达一个变量 所以你会发现两个平面之间的距离相等的线。
有不同的方法可以做到这一点，例如使用飞机上的距离方程投影，但我相信这会使你的数学变得很复杂。
答案 7 :(得分：0)
答案 8 :(得分：0)
添加到M的答案：在O(n log n)中生成Q（不是那么遥远）的方法。
首先，让Q在y轴上任何点，即。 Q = (0,b) - 一些好的选择可能是（0,0）或（0，（y max -y min ）/ 2）。
现在检查是否有两个点（x 1 ，y 1 ），（x 2 ，y 2 ）与Q共线。任意点与Q之间的直线为y = mx + b;由于b是常数，这意味着如果它们的斜率m相等，则两个点与Q共线。因此，确定所有点的斜率m i 并检查是否有任何重复：（amoritized O(n)使用哈希表）
如果所有的m都是不同的，我们就完成了;我们发现了Q，上面的M算法在O(n)步骤中生成了这一行
如果两个点与Q共线，我们将Q向上移动微量ε，Q new =（0，b +ε），并显示Q < sub> new 不会与另外两个点共线。
下面得出的ε标准是：
ε < mminΔ*xmin
首先，我们的m看起来像这样：
mi = yi/xi - b/xi
让我们找到任意两个不同 m i 之间的最小差异，并将其称为m minΔ （ {{ 1}} 通过例如排序然后比较m i 和 i + 1 之间的差异为所有i）
如果我们用ε捏造b，则m的新等式变为：
mi,new = yi/xi - b/xi - ε/xi
= mi,old - ε/xi
因为ε＆gt; 0和x i ＆gt; 0，所有m都减少了，并且所有m都减少了最多ε/ x min 。因此，如果
ε/xmin < mminΔ, ie. ε < mminΔ*xmin
是真的，那么以前不相等的两个m i 将保证保持不相等。
剩下的就是显示如果m 1，old = m 2，old ，则m 1，new = / =米<子> 2，新的。由于m i 都减少了ε/ x i ，这相当于显示x 1 = / = x 2 。如果他们 相等，那么：
y1 = m1,oldx1 + b = m2,oldx2 + b = y2
与我们的假设相矛盾，即所有观点都是截然不同的。因此，m 1，new = / = m 2，new ，没有两个点与Q共线。
答案 9 :(得分：0)
以下是我如何处理这个问题（假设n是偶数且没有三个点是共线的）：
1）拿起Y值最小的点。我们称之为P点。
2）将此点作为新的原点，以便在此转换后所有其他点都具有正Y值。
3）对于每隔一个点（剩下n - 1个点），请考虑它在极坐标系下。每个其他点可以用半径和角度表示。你可以忽略半径，只关注角度。
4）如何找到均匀分割点的线？求出（n - 1）个角度的中位数。从点P到具有该中间角度的点的线将均匀地分割点。
该算法的时间复杂度为O（n）。