Question

需要显示一个带有特殊分区的快速排序，其中一个数组被分成3个部分（＆lt;比3个pivot，=到pivot，＆gt;而不是pivot）和一个大小为N的特殊数组，其中只有7个不同的键可以在O（N）中排序。

所以，我想我们可以假设在中间的某个地方选择了枢轴（否则我们可能会有[0,1,2,3,4,5,6,6,6,6 ......] ..]那应该采取O（N ^ 2））。

这就是我的想法：
假设我们进行了第一次分区。现在我们转到递归步骤2.假设我们只关注正确的分区。由于此处的每个元素都大于枢轴，并且只有7个不同的键，因此该分区中不同键的数量严格小于7.这意味着在算法的7次迭代之后，左侧和右侧子中的所有元素-sub -...-分区应该是相同的。

现在，我可以看到如果算法停止在常量数组上重复出现，这将是O（N），但我的理解是它没有。如果不是这样的话，请澄清一下。

那么这里发生了什么？

Answer 1

快速排序算法如下所示：

quicksort(A, lo, hi):
  if lo < hi:
    p := partition(A, lo, hi)
    quicksort(A, lo, p - 1)
    quicksort(A, p + 1, hi)

我们有一个3路的特殊分区，所以我们说它会为它选择的任何枢轴返回相等的范围，我们只需要低于和高于：

quicksort(A, lo, hi):
  if lo < hi:
    p1, p2 := 3-way-partition(A, lo, hi)
    quicksort(A, lo, p1 - 1) // (1)
    quicksort(A, p2 + 1, hi) // (2)

现在，考虑非常糟糕的情况。我们有一个看起来像[0,1,2,3,4,5,6,6,6,6...]的数组，我们的枢轴选择算法尽可能愚蠢：它以严格递增的顺序选择枢轴。在这种情况下，第一次递归调用（上面的(1)）将始终不执行任何操作，因为没有任何小于枢轴。因此，我们只处理一个大小为N - 1的递归调用。

每次递归调用都会将问题大小减小一，直到第7次递归调用（将选择6枢轴） - 完成排序。这是仅有7个不同键的关键步骤 - 您最多只需要7个呼叫。这7个调用中的每一个都会迭代整个数组... O(7N) == O(N)。更一般地说，如果只有k个不同的密钥，您可以说最坏的情况是来自同一个参数的O(kN)。

Quicksort Q：有限多个不同的键

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