使用实验数据进行双重整合

Question

我需要使用实验数据执行双重积分，但我的积分限制对于每个积分都是相同的，在这种情况下是时间。数学上我需要计算：

E [a ₀ +∫ ₀ ^T a（t）dt] = a + lim _Tx→∞（1 / T）∫ ₀ ^T ∫ ₀ ^t a dt dT

经过一番搜索，我到达了：

T = 0:0.1:600;
x = T;
A = rand(1,length(T)); % my data
pp_int = spline(T,A );
DoubleIntegration = integral(@(x)arrayfun(@(T )(integral(@(T ) ppval(pp_int,T ),0,  T  )),x),0,T(end)  );

代码花费了很长时间才能运行并提供巨大的价值。我认为我的问题是Matlab可能无法处理样条线，但我不知道如何解决这个问题。

Answer 1

首先，你不应该用同一个字母写一堆东西;你的代码很难阅读，因为必须弄清楚T在每个实例中意味着什么。

其次，纯数学有助于：在改变变量和简单计算之后，双积分成为单个积分：

∫ ₀ ^T ∫ ₀ ^x a（t）dt dx =∫ _{0 < / sub> ^T ∫ t ^T a（t）dx dt =∫ 0 ^T （Tt）* a（t）dt}

我在较小范围内使用非随机数据进行演示：

T = 0:0.1:60;
x = T;
A = sin(T.^2); % my data
pp_int = spline(T,A );
tic
DoubleIntegration = integral(@(x) arrayfun(@(T )(integral(@(T ) ppval(pp_int,T ),0,  T  )),x),0,T(end)  );
toc
tic
SingleIntegration = integral(@(t) (T(end)-t).*ppval(pp_int,t), 0, T(end));
toc
disp(DoubleIntegration)
disp(SingleIntegration)

输出：

Elapsed time is 27.751744 seconds.
Elapsed time is 0.007223 seconds.
   51.3593

   51.3593

相同的结果，快3800倍。