在Pollard rho整数分解中计算GCD的原因是什么？

Question

这是用于计算CLRS的整数因子分解的伪代码。但是当 i == k 第8行中 GCD 以及加倍k 的需要有什么意义呢？ >在第13行。请帮助。

Answer 1

尽管有标签，但伪代码不是Pollard-rho分解。这是相关Brent's factorization method的一次审判。在Pollard-rho分解中，在第i步中计算x_i和x_（2i），并用n检查x_（2i）-x_i的GCD。在布伦特的分解方法中，为b = 1,2，...，2 ^ a计算GCD（x_（2 ^ a）-x_（2 ^ a + b），n）。 （我使用从1开始的索引来同意伪代码，但在其他地方，序列用x_0初始化。）在代码中，k = 2 ^ a和i = 2 ^ a + b。当您检测到我已达到下一个2的幂时，将k增加到2 ^（a + 1）。

Euclid's algorithm可以非常快速地计算GCD，而不知道数字的因子分解。每当你找到一个带有n的非平凡的GCD时，这有助于你计算n。在Pollard-rho分解和布伦特算法中，一个想法是如果你迭代一个多项式，如x ^ 2-c，迭代modn的值之间的差异往往是与n共享非平凡因子的数字的良好候选者。 。这是因为（通过Chinese Remainder Theorem）迭代多项式mod n与在n的素因数分解中同时迭代多项式mod的每个素数相同。如果x_i = x_j mod p1 ^ e1但不是mod p2 ^ e2，则GCD（xi-xj，n）将p1 ^ e1作为因子而不是p2 ^ e2，因此它将是一个非平凡因子。

这是一次试验，因为x_1初始化一次。如果你运气不好，你为x_1选择的值会启动一个预先重复的序列，在n的素数因子分解中同时修改每个素数幂，即使n不是素数。例如，假设n = 1711 = 29 * 59，x_1 = 4，x_2 = 15，x_3 = 224，x_4 = 556，x_5 = 1155，x_6 = 1155，...这个序列无助于您找到一个非常重要的因子化，因为不同元素和1711之间的差异的所有GCD都是1.如果从x_1 = 5开始，则x_2 = 24，x_3 = 575，x_4 = 401，x_5 = 1677，x_6 = 1155，x_7 = 1155， ...在任何分解方法中，你会发现GCD（x_4-x_2,1711）= GCD（377,1711）= 29，非平凡因子1711.不仅一些序列没有帮助，其他序列可能有用，但它可能会更快放弃并从另一个初始值开始。所以，通常你不会永远增加我，通常有一个终止阈值，你可以尝试不同的初始值。