Question

是否有一些数学“最佳”基础可以加速因子计算？

背景：只是为了好玩，我正在实现我自己的bignum库。（ - ：这是我的第一个错误吗？:-)。我正在试验内部表示和回归测试中使用的各种基础，打印出n阶乘（n！）的精确值（十进制）。

我的bignum库表示整数并进行乘法的方式，时间与内部表示n！中“1”位的总数成正比。在我的内部表示中使用基数2,4,8,16,2 ^ 8,2 ^ 30等都给出了与任何特定数字完全相同的“1”位总数。

除非我犯了一些错误，否则在基数18中表示的任何给定因子（n！）比在基数10或基数16或基数19中表示的相同值具有更少的“1”位。因此（原则上），使用基座18将使我的bignum库比使用基础10或一些二进制2 ^ w基础或基础19更快地运行。我认为这与n这个事实有关！当在基部18中打印时比在基部10或基部16或基部19中打印更短或具有更多“尾随零”或两者。还有其他一些基础比18基地更好吗？换一种说法，有代表n的基数！比基数18更少的“1”位？

这不是“bignum库和素性测试算法的便利基础是什么？”因为我怀疑“使用已知为大因子的整数的最佳基数，有很多因子2和3”不同于“使用没有任何小因子的整数的最佳基数，并且可能是主要”。（ - ：加快阶乘计算 - 可能是以其他类型的计算为代价 - 我的第二个错误？： - ）

编辑：例如：

(decimal) 16! ==
(decimal    ) == 20,922,789,888,000 // uses decimal 14 "1" bits
(dozenal    ) ==  2,41A,B88,000,000 // uses decimal 10 "1" bits
(hexadecimal) ==    130,777,758,000 // uses decimal 18 "1" bits
(octadecimal) ==     5F,8B5,024,000 // uses decimal 14 "1" bits

（我或多或少在右边存储数字，没有逗号，加上一些元数据开销）。（虽然人们可能会认为“当你增加基数时，你将使用更少的”1“位来表示给定的数字”，或“”当你增加基数时，你将使用更少的非零数字来表示给定的数字“，上面示例显示并非总是如此。）

我将每个数字存储为一个小整数（“int”或“long int”或“byte”）。有没有其他合理的方法来存储数字？我很确定我的计算机将这些整数存储为二进制 - 每个“1”，“2”，“4”，“8”和“G”数字使用一个“1”位;每个“3”，“5”，“6”，“9”和“A”数字使用两个“1”位;每个“7”和“B”数字使用三个“1”位;每个“F”数字使用四个“1”位等

该值（16！）的十进制和十八进制表示都需要14“1”位。所以我在之前的计算中犯了一个错误：对于每个n，代表n！在十八进制中总是比在十进制中表示相同的值具有更少的“1”位。但问题仍然存在：是否还有一些其他“最佳”基础需要最少1位的数据来存储大因子？

有人问：“你如何存储这些数字？” 嗯，这正是我的问题 - 存储n形式数字的最佳方法是什么！？我可以在内部使用基数10中的数字，或者一些二次幂，或者基数为18，或者其他一些基数。哪一个最好？我可以在内部将这些整数存储为1D数字数组，但需要很长的长度来存储所有数字。有没有合理的方式打印100！十进制没有这样的数组？

Answer 1

如果您只是尝试优化计算阶乘的运行时间，并且更改基数是您正在更改的唯一参数，那么最佳基数可能包含很小的因子。 60可能是一个合理的选择。如果你想试验，我会尝试形式的各种基础（2 ^ a）（3 ^ b）（5 ^ c）

提高乘法速度可能是性能的最佳方式。您使用什么算法进行乘法？（教科书，Karatsuba，Toom-Cook，FFT，......）

还有其他因素需要考虑。如果您经常将数字转换为十进制数，那么10的幂将使转换尽可能快。

很多（*）年前，我写了一个base-6浮点库专门解决了重复乘法/除2和/或3的问题。但除非你试图解决一个特定的问题，我想你通过优化您的算法将比通过尝试优化阶乘更好地服务。

casevh

（*）我最初说“几年前”直到我记得这个程序在12Mhz 80286上运行了很多天。

Answer 2

虽然从纯粹的数学观点来看，最佳基础是 e （并且在舍入到最接近的整数-3之后），从计算机上的bignum库的实际角度来看，选择机器字大小为数字系统的基础（2 ^ 32或2 ^ 64）。是的，它是巨大的，但是你的bignum系统的更高抽象层是阻塞点，机器字上的基础计算是快速部分，因此将尽可能多的计算委托给CPU低级指令同时保持自己的工作最小化。

不，这不是一个错误。这是一个非常好的学习练习。

Answer 3

我不会假装我知道任何数学，所以不要把我的答案视为你可能正在寻找的神圣的“最佳”。如果我必须尽可能快地做阶乘，我会尝试一些近似（类似于斯特林近似）或减少乘法次数，因为乘法是昂贵的操作。如果你用k-base表示数字，你可以在移位的帮助下模拟乘以k。如果选择2基，则所有乘法的一半将是移位。其他乘法是移位和一位开关。如果您的目标是最小化数字表示中“1”的数量，这取决于您所代表的数字。当您增加基数时，您将使用较少的“1”来表示给定的数字，但是您需要为每个订单添加更多位，这意味着更多潜在的“1”。我希望它至少有一点帮助，如果没有，请问，我会尽力回答。

Answer 4

如果用'“1”位表示数字，那么我建议使用256或65536的基数。换句话说，为了数学的目的，将每个字节/单词设为“数字”。计算机会定期处理这些数字，并为此进行了优化。你的阶乘将是迅速的，其他操作也是如此。

更不用说计算机可以轻松地从类似的基础处理大量的转换。（押韵无意）

是否有一些数学“最佳”基础可以加速因子计算？

4 个答案: