按距离对终端节点排序图表

Question

我有一个属于图表的节点列表。该图是定向的，不包含循环。此外，一些节点被标记为＆＃34; end＆＃34;节点。每个节点都有一组我可以使用的输入节点。

问题如下：如何对列表中的节点进行排序（升序）与任何可达终端节点的最大距离？这是一个关于图形如何的示例。

我已经添加了计算的距离，之后我可以对节点进行排序（灰色）。末端节点的距离为0，而C，D和G的距离为1.但是，F的距离为3，因为D上的逼近会更短（2）。

我已经提出了一个概念，我认为问题将会得到解决。这是一些伪代码：

sortedTable<Node, depth> // used to store nodes and their currently calculated distance
tempTable<Node>// used to store nodes 
currentDepth = 0;

- fill tempTable with end nodes

while( tempTable is not empty)
{

    - create empty newTempTable<Node node>

    // add tempTable to sortedTable
    for (every "node" in tempTable)
    {
        if("node" is in sortedTable)
        {
            - overwrite depth in sortedTable with currentDepth
        }
        else 
        {
            - add (node, currentDepth) to sortedTable
        }

        // get the node in the next layer
        for ( every "newNode" connected to node)
        {
            - add newNode to newTempTable
        }

        - tempTable = newTempTable  
    }
    currentDepth++;
}

这种方法应该有效。然而，该算法的问题在于它基于每个端节点从图中基本创建树，然后校正每个深度的旧距离计算。例如：G将具有深度1（直接在B上计算），然后是深度3（在A，D和F上计算），然后是深度4（在A，C，E和F上计算）。

你有更好的解决方案吗？

Answer 1

可以使用dynamic programming完成。

图表是DAG，因此首先在图表上执行topological sort，让排序的顺序为v1，v2，v3，...，vn。

现在，为所有“结束节点”设置D(v)=0，从最后到第一个设置（根据拓扑顺序）：

D(v) = max { D(u) + 1, for each edge (v,u) }

这是有效的，因为图表是DAG，当按照拓扑顺序颠倒完成时，所有传出边D(u)的所有(v,u)值都已知。

图表上的示例：

拓扑排序（一种可能）：

H,G,B,F,D,E,C,A

然后，算法：

init: 

D(B)=D(A)=0

从上到后回到：

D(A) - no out edges, done
D(C) = max{D(A) + 1} = max{0+1}=1
D(E) = max{D(C) + 1} = 2
D(D) = max{D(A) + 1} = 1
D(F) = max{D(E)+1, D(D)+1} = max{2+1,1+1} = 3
D(B) = 0
D(G) = max{D(B)+1,D(F)+1} = max{1,4}=4
D(H) = max{D(G) + 1} = 5

作为旁注，如果图形不是DAG，而是一般图形，则它是Longest Path Problem的变体，即NP-Complete。
幸运的是，当我们的图表是DAG时，它确实有一个有效的解决方案。