Question

我想用数字积分积分与无限极限。有谁知道我该怎么做？

int(x* exp (v*x + (1-exp(v*x))/v),x, o , inf)不起作用。

请注意，我的值为v。

%n=10;
kappa=.5;
delta0=.5;
Vmax=500;
Vdep=2.2;
l=2.2;
kbT=4.1;
%xb=.4;
fb=10;
k=1;
V0=5;

e1=(fb*l/kbT)*(kappa/delta0);
e2=Vmax/V0;
e3=Vdep/V0;

w=zeros(1,25);

for v=1:25
    w(:,v)=integral(@(x) x.*exp(v*x+((1-exp(v*x))/v)),0,inf);
end

e12=e2*exp(-e1*(1:25).*w.^2)-e3;
plot(e12);
ylim([0 25]);
hold on;
plot(0:25,0:25);
xlim([0 25]);
%hold off;

该图与文章中的实际数据不匹配！（特别针对e12曲线）我需要计算两条曲线的交集（基于论文约为13.8），然后在第二部分我必须在e12中添加一个包含一个自变量的项：

v=13.8;
w= integral(@(x) x.*exp(v*x+((1-exp(v*x))/v)),0,inf)
e4 = zeros (1,180);
fl = 1:180;
e4(:,fl)= (fl*l/kbT)*(kappa/n);
e12=e2*exp(-e1*v*w^2-e4)-e3

但问题再一次是运行这段代码我将以e12的负值结束，在fl的大值（fl> 160）中它应该接近零

显示此代码与预期曲线的不同之处，您可以在同一图上绘制这些数据：

fl = [0, 1, 4, 9, 15, 20, 25, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180];
e12 = [66, 60, 50, 40, 30, 25.5, 20, 15.5, 10.5, 8.3, 6.6, 5, 2.25, 1.1, 0.5];

显然与代码生成的曲线不匹配。

Answer 1

通过将离散点处的函数与距离dx相加来执行数值积分。您选择的dx越小，您获得的逼近度越高。例如，从x=0到x=10的整合可以通过以下方式完成：

x = 0:dx:10;
I = sum(x.* exp (v*x + (1-exp(v*x))/v))*dx;

显然，你不能为x=inf做到这一点。但我相信你的功能会迅速衰退。因此，您可以假设x* exp (v*x + (1-exp(v*x))/v) = 0足够大x。否则积分是发散的。所以你要做的就是设置x的限制。如果您不确定限制应该是什么，则可以执行具有停止条件的循环：

I = 0;
prevI = -1;
x = 0;
while abs(I-prevI)>err
  prevI = I;
  I = I + x.* exp (v*x + (1-exp(v*x))/v)*dx;
  x = x + dx;
end

现在，您所要做的就是设置所需的dx和err

Answer 2

您必须阅读：Mathwork Link

也许你在使用的函数中犯了一个错误。另请注意，MATLAB语法区分大小写。

Answer 3

假设问题是关于这个完整的代码：

syms x;
v = 1; % For example
int(x*exp(v*x + (1-exp(v*x))/v),x, 0, Inf)

问题是它返回自身（即int找不到解析解），可以将'IgnoreAnalyticConstraints'选项设置为true（more details ）获得解决方案：

syms x;
v = 1; % For example
int(x*exp(v*x + (1-exp(v*x))/v),x, 0, Inf, 'IgnoreAnalyticConstraints', true)

返回-ei(-1)*exp(1)，其中ei是exponential integral function（另请参阅expint进行数值计算）。对于v的负值，解决方案也将采用eulergamma，Euler-Mascheroni constant。当然，如果v为0，则积分未定义。

使用Mathematica 10.0.2的Integrate为符号v提供了完整的解决方案。

Integrate[x Exp[v x - (Exp[v x] - 1)/v], {x, 0, Infinity}]

返回

ConditionalExpression[(E^(1/v) (EulerGamma + Gamma[0, 1/v] + Log[1/v]))/v, Re[v] < 0]

应用Assumptions：

Integrate[x Exp[v x - (Exp[v x] - 1)/v], {x, 0, Infinity}, Assumptions -> v > 0]
Integrate[x Exp[v x - (Exp[v x] - 1)/v], {x, 0, Infinity}, Assumptions -> v < 0]

返回

(E^(1/v) Gamma[0, 1/v])/v

和

(E^(1/v) (2 EulerGamma - 2 ExpIntegralEi[-(1/v)] + Log[1/v^2]))/(2 v)

其中Gamma是upper incomplete gamma function。这些看起来与Matlab的结果相符。

在Matlab中以数字方式评估这些：

% For v > 0
v_inv = 1./v;
exp(v_inv).*expint(v_inv).*v_inv

或

% For v < 0
v_inv = 1./v;
exp(v_inv).*(2*double(eulergamma)+2*(expint(v_inv)+pi*1i)+log(v_inv.^2)).*v_inv/2

如何在MATLAB中数学上与无限极限集成？

3 个答案: