Question

有一个大小 N x M 的网格。有些单元格是 islands ，用'0'表示，其他单元格是 water 。每个水电池上都有一个数字，表示在该电池上制造的电桥的成本。您必须找到所有岛屿可以连接的最低成本。如果单元格共享边缘或顶点，则该单元格将连接到另一个单元格。

可以使用什么算法来解决这个问题？编辑：如果N，M的值非常小，可以用作蛮力方法，例如NxM <= 100？

示例：在给定图像中，绿色单元格表示岛屿，蓝色单元格表示水，浅蓝色单元格表示应在其上制作桥梁的单元格。因此，对于下面的图像，答案将 17 。

最初，我想到将所有岛屿标记为节点，并用最短的桥连接每对岛屿。然后问题可以减少到最小生成树，但在这种方法中我错过了边缘重叠的情况。例如，在下图中，任意两个岛之间的最短距离 7 （标记为黄色），因此通过使用最小生成树，答案将是 14 ，但答案应 11 （以浅蓝色标记）。

Answer 1

要解决这个问题，我会使用整数编程框架并定义三组决策变量：

x_ij ：我们是否在水位（i，j）建立桥梁的二元指示变量。
y_ijbcn ：水位（i，j）是否是连接岛b到岛c的第n个位置的二进制指示器。
l_bc ：岛屿b和c是否直接相连的二元指示变量（也就是说你只能在从b到c的桥梁方块上行走）。

对于桥梁建筑成本 c_ij ，要最小化的目标值为sum_ij c_ij * x_ij。我们需要向模型添加以下约束：

我们需要确保 y_ijbcn 变量有效。如果我们在那里建一座桥，我们总是只能到达水广场，所以y_ijbcn <= x_ij适用于每个水位（i，j）。此外，如果（i，j）不与边界岛b相邻，则y_ijbc1必须等于0。最后，对于n> 1，y_ijbcn只能在步骤n-1中使用相邻水位时使用。将N(i, j)定义为相邻的水方（i，j），这相当于y_ijbcn <= sum_{(l, m) in N(i, j)} y_lmbc(n-1)。
我们需要确保仅在b和c链接时才设置 l_bc 变量。如果我们将I(c)定义为与c岛接壤的位置，则可以使用l_bc <= sum_{(i, j) in I(c), n} y_ijbcn来完成此操作。
我们需要确保所有岛屿直接或间接相连。这可以通过以下方式实现：对于岛的每个非空的适当子集S，要求S中的至少一个岛链接到S的补码中的至少一个岛，我们将其称为S'。在约束中，我们可以通过为每个非空集S添加约束来实现这一点，该集合大小为＆lt; = K / 2（其中K是岛数）sum_{b in S} sum_{c in S'} l_bc >= 1。

对于具有K个岛，W水方块和指定的最大路径长度N的问题实例，这是具有O(K^2WN)个变量和O(K^2WN + 2^K)约束的混合整数编程模型。显然，随着问题规模变大，这将变得棘手，但对于您关心的尺寸，它可能是可以解决的。为了了解可伸缩性，我将使用纸浆包在python中实现它。让我们首先从较小的7 x 9地图开始，在问题的底部有3个岛屿：

import itertools
import pulp
water = {(0, 2): 2.0, (0, 3): 1.0, (0, 4): 1.0, (0, 5): 1.0, (0, 6): 2.0,
         (1, 0): 2.0, (1, 1): 9.0, (1, 2): 1.0, (1, 3): 9.0, (1, 4): 9.0,
         (1, 5): 9.0, (1, 6): 1.0, (1, 7): 9.0, (1, 8): 2.0,
         (2, 0): 1.0, (2, 1): 9.0, (2, 2): 9.0, (2, 3): 1.0, (2, 4): 9.0,
         (2, 5): 1.0, (2, 6): 9.0, (2, 7): 9.0, (2, 8): 1.0,
         (3, 0): 9.0, (3, 1): 1.0, (3, 2): 9.0, (3, 3): 9.0, (3, 4): 5.0,
         (3, 5): 9.0, (3, 6): 9.0, (3, 7): 1.0, (3, 8): 9.0,
         (4, 0): 9.0, (4, 1): 9.0, (4, 2): 1.0, (4, 3): 9.0, (4, 4): 1.0,
         (4, 5): 9.0, (4, 6): 1.0, (4, 7): 9.0, (4, 8): 9.0,
         (5, 0): 9.0, (5, 1): 9.0, (5, 2): 9.0, (5, 3): 2.0, (5, 4): 1.0,
         (5, 5): 2.0, (5, 6): 9.0, (5, 7): 9.0, (5, 8): 9.0,
         (6, 0): 9.0, (6, 1): 9.0, (6, 2): 9.0, (6, 6): 9.0, (6, 7): 9.0,
         (6, 8): 9.0}
islands = {0: [(0, 0), (0, 1)], 1: [(0, 7), (0, 8)], 2: [(6, 3), (6, 4), (6, 5)]}
N = 6

# Island borders
iborders = {}
for k in islands:
    iborders[k] = {}
    for i, j in islands[k]:
        for dx in [-1, 0, 1]:
            for dy in [-1, 0, 1]:
                if (i+dx, j+dy) in water:
                    iborders[k][(i+dx, j+dy)] = True

# Create models with specified variables
x = pulp.LpVariable.dicts("x", water.keys(), lowBound=0, upBound=1, cat=pulp.LpInteger)
pairs = [(b, c) for b in islands for c in islands if b < c]
yvals = []
for i, j in water:
    for b, c in pairs:
        for n in range(N):
            yvals.append((i, j, b, c, n))

y = pulp.LpVariable.dicts("y", yvals, lowBound=0, upBound=1)
l = pulp.LpVariable.dicts("l", pairs, lowBound=0, upBound=1)
mod = pulp.LpProblem("Islands", pulp.LpMinimize)

# Objective
mod += sum([water[k] * x[k] for k in water])

# Valid y
for k in yvals:
    i, j, b, c, n = k
    mod += y[k] <= x[(i, j)]
    if n == 0 and not (i, j) in iborders[b]:
        mod += y[k] == 0
    elif n > 0:
        mod += y[k] <= sum([y[(i+dx, j+dy, b, c, n-1)] for dx in [-1, 0, 1] for dy in [-1, 0, 1] if (i+dx, j+dy) in water])

# Valid l
for b, c in pairs:
    mod += l[(b, c)] <= sum([y[(i, j, B, C, n)] for i, j, B, C, n in yvals if (i, j) in iborders[c] and B==b and C==c])

# All islands connected (directly or indirectly)
ikeys = islands.keys()
for size in range(1, len(ikeys)/2+1):
    for S in itertools.combinations(ikeys, size):
        thisSubset = {m: True for m in S}
        Sprime = [m for m in ikeys if not m in thisSubset]
        mod += sum([l[(min(b, c), max(b, c))] for b in S for c in Sprime]) >= 1

# Solve and output
mod.solve()
for row in range(min([m[0] for m in water]), max([m[0] for m in water])+1):
    for col in range(min([m[1] for m in water]), max([m[1] for m in water])+1):
        if (row, col) in water:
            if x[(row, col)].value() > 0.999:
                print "B",
            else:
                print "-",
        else:
            print "I",
    print ""

使用纸浆包装（CBC解算器）中的默认解算器运行需要1.4秒，并输出正确的解决方案：

I I - - - - - I I 
- - B - - - B - - 
- - - B - B - - - 
- - - - B - - - - 
- - - - B - - - - 
- - - - B - - - - 
- - - I I I - - -

接下来，考虑问题顶部的完整问题，这是一个包含7个岛屿的13 x 14网格：

water = {(i, j): 1.0 for i in range(13) for j in range(14)}
islands = {0: [(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)],
           1: [(9, 0), (9, 1), (10, 0), (10, 1), (10, 2), (11, 0), (11, 1),
               (11, 2), (12, 0)],
           2: [(0, 7), (0, 8), (1, 7), (1, 8), (2, 7)],
           3: [(7, 7), (8, 6), (8, 7), (8, 8), (9, 7)],
           4: [(0, 11), (0, 12), (0, 13), (1, 12)],
           5: [(4, 10), (4, 11), (5, 10), (5, 11)],
           6: [(11, 8), (11, 9), (11, 13), (12, 8), (12, 9), (12, 10), (12, 11),
               (12, 12), (12, 13)]}
for k in islands:
    for i, j in islands[k]:
        del water[(i, j)]

for i, j in [(10, 7), (10, 8), (10, 9), (10, 10), (10, 11), (10, 12),
             (11, 7), (12, 7)]:
    water[(i, j)] = 20.0

N = 7

MIP求解器通常可以相对快速地获得良好的解决方案，然后花费大量时间来证明解决方案的最优性。使用与上述相同的求解器代码，程序无法在30分钟内完成。但是，您可以为求解器提供超时以获得近似解：

mod.solve(pulp.solvers.PULP_CBC_CMD(maxSeconds=120))

这产生了一个目标值为17的解决方案：

I I - - - - - I I - - I I I 
I I - - - - - I I - - - I - 
I I - - - - - I - B - B - - 
- - B - - - B - - - B - - - 
- - - B - B - - - - I I - - 
- - - - B - - - - - I I - - 
- - - - - B - - - - - B - - 
- - - - - B - I - - - - B - 
- - - - B - I I I - - B - - 
I I - B - - - I - - - - B - 
I I I - - - - - - - - - - B 
I I I - - - - - I I - - - I 
I - - - - - - - I I I I I I

为了提高您获得的解决方案的质量，您可以使用商业MIP解算器（如果您在学术机构，这是免费的，否则可能不是免费的）。例如，这是Gurobi 6.0.4的性能，再次有2分钟的时间限制（尽管从解决方案日志中我们读到解算器在7秒内找到了当前最佳解决方案）：

mod.solve(pulp.solvers.GUROBI(timeLimit=120))

这实际上找到了一个客观值16的解决方案，一个比OP能够手工找到的更好！

I I - - - - - I I - - I I I 
I I - - - - - I I - - - I - 
I I - - - - - I - B - B - - 
- - B - - - - - - - B - - - 
- - - B - - - - - - I I - - 
- - - - B - - - - - I I - - 
- - - - - B - - B B - - - - 
- - - - - B - I - - B - - - 
- - - - B - I I I - - B - - 
I I - B - - - I - - - - B - 
I I I - - - - - - - - - - B 
I I I - - - - - I I - - - I 
I - - - - - - - I I I I I I

Answer 2

蛮力方法，伪代码：

start with a horrible "best" answer
given an nxm map,
    try all 2^(n*m) combinations of bridge/no-bridge for each cell
        if the result is connected, and better than previous best, store it

return best

在C ++中，这可以写成

// map = linearized map; map[x*n + y] is the equivalent of map2d[y][x]
// nm = n*m
// bridged = true if bridge there, false if not. Also linearized
// nBridged = depth of recursion (= current bridge being considered)
// cost = total cost of bridges in 'bridged'
// best, bestCost = best answer so far. Initialized to "horrible"
void findBestBridges(char map[], int nm,
   bool bridged[], int nBridged, int cost, bool best[], int &bestCost) {
   if (nBridged == nm) {
      if (connected(map, nm, bridged) && cost < bestCost) {
          memcpy(best, bridged, nBridged);
          bestCost = best;
      }
      return;
   }
   if (map[nBridged] != 0) {
      // try with a bridge there
      bridged[nBridged] = true;
      cost += map[nBridged];

      // see how it turns out
      findBestBridges(map, nm, bridged, nBridged+1, cost, best, bestCost);         

      // remove bridge for further recursion
      bridged[nBridged] = false;
      cost -= map[nBridged];
   }
   // and try without a bridge there
   findBestBridges(map, nm, bridged, nBridged+1, cost, best, bestCost);
}

在第一次通话后（我假设您正在将您的2d地图转换为1d数据以便于复制），bestCost将包含最佳答案的费用，best将包含产生它的桥梁的模式。然而，这非常慢。

优化：

通过使用“桥接限制”并运行算法来增加桥梁的最大数量，您可以在不探索整个树的情况下找到最小答案。找到1桥答案，如果它存在，将是O（nm）而不是O（2 ^ nm） - 一个显着的改进。
一旦超过bestCost，您就可以避免搜索（通过停止递归;这也称为“修剪”），因为继续查看之后没有任何意义。如果它不能变得更好，就不要继续挖掘。
如果你在看好“好”的候选人之前看上面的“好”候选人，那么上面的修剪效果会更好（因为它是从左到右，从上到下的顺序看细胞）。一个好的启发式方法是将几个未连接组件附近的单元格视为优先级高于未连接组件的单元格。但是，一旦添加启发式扫描，您的搜索就会开始类似A*（并且您也需要某种优先级队列）。
要避免重复的桥梁和桥梁。如果删除，任何不断开岛网络的桥都是多余的。

诸如A*之类的通用搜索算法允许更快的搜索，尽管找到更好的启发式算法并不是一项简单的任务。对于更具问题的方法，使用Steiner trees上的现有结果，正如@Gassa所建议的那样，是可行的方法。但请注意，根据此paper by Garey and Johnson，在正交网格上构建Steiner树的问题是NP-Complete。

如果“足够好”就足够了，遗传算法可能很快找到可接受的解决方案，只要你在首选桥位置上添加一些关键的启发式算法。

Answer 3

此问题是Steiner树的变体，称为节点加权Steiner树，专门用于某类图。紧凑，节点加权的Steiner树，给定节点加权无向图，其中一些节点是终端，找到最便宜的节点集，包括诱导连接子图的所有终端。可悲的是，我似乎无法在一些粗略的搜索中找到任何解算器。

要制定为整数程序，为每个非终端节点创建一个0-1变量，然后对于从起始图中删除的两个终端的非终端节点的所有子集断开两个终端，需要在这个子集至少为1.这会导致太多的约束，因此您必须使用有效的节点连接算法（基本上是最大流量）来懒惰地强制执行它们，以检测最大违反的约束。很抱歉缺乏详细信息，但即使您已经熟悉整数编程，这也很难实现。

Answer 4

鉴于此问题发生在网格中，并且您有明确定义的参数，我将通过创建最小生成树来系统地消除问题空间来解决问题。这样做，如果你用Prim算法解决这个问题，对我来说是有道理的。

不幸的是，你现在遇到了抽象网格以创建一组节点和边缘的问题......这篇文章的真正问题是如何将我的nxm网格转换为{V}和{E}？

由于可能的组合数量很多（假设所有航道成本相同），这个转换过程一目了然可能是NP-Hard。要处理路径重叠的实例，您应该考虑创建一个虚拟岛。

完成后，运行Prim算法，您应该得到最佳解决方案。

我不相信动态编程可以在这里有效运行，因为没有可观察的最优性原则。如果我们找到两个岛屿之间的最低成本，那并不一定意味着我们可以找到这两个岛屿和第三岛屿之间的最低成本，或者是另一个岛屿子集（根据我的定义，通过我的定义找到MST通过Prim）连接。

如果您希望代码（伪或其他）将您的网格转换为一组{V}和{E}，请向我发送私信，我会考虑拼接一个实现。

连接所有岛屿的最低成本是多少？

4 个答案: