将点集分组到最近的对

Question

我需要一个针对以下问题的算法：

我在平面上给出了一组2D点P = {（x_1，y_1），（x_2，y_2），...，（x_n，y_n）}。我需要以下列方式成对分组：

1. 在P中找到两个最接近的点（x_a，y_a）和（x_b，y_b）。
2. 添加对＆lt;（x_a，y_a），（x_b，y_b）＆gt;到结果集R。
3. 删除＆lt;（x_a，y_a），（x_b，y_b）＆gt;来自P.
4. 如果初始设置P不为空，请转到第一步。
5. 返回对R的集合。

该朴素算法为O（n ^ 3），使用更快的算法搜索最近邻居，可以将其改进为O（n ^ 2 logn）。可以做得更好吗？

如果这些点不在欧几里德空间怎么办？

一个例子（结果组用红色圆圈圈出）：

Answer 1

将所有点放入http://en.wikipedia.org/wiki/R-tree（时间Object），然后为每个点计算到最近邻居的距离。将点和初始距离放入优先级队列。初始化一组空的删除点和一组空的对。然后执行以下伪代码：

O(n log(n))

最慢的部分是最近邻搜索。 R树不保证那些最近邻居搜索将是while priority_queue is not empty: (distance, point) = priority_queue.get(); if point in removed_set: continue neighbor = rtree.find_nearest_neighbor(point) if distance < distance_between(point, neighbor): # The previous neighbor was removed, find the next. priority_queue.add((distance_between(point, neighbor), point) else: # This is the closest pair. found_pairs.add(point, neighbor) removed_set.add(point) removed_set.add(neighbor) rtree.remove(point) rtree.remove(neighbor) 。但他们往往是。此外，您不是保证您将为每个点执行O(log(n))个邻居搜索。但通常你会。所以平均表现应该是O(1)。 （我可能错过了一个对数因子。）

Answer 2

我想这个问题需要一个动态的Voronoi图。

当已知点集的Voronoi图时，可以在线性时间内找到最近邻对。

然后删除这两个点可以在线性或次线性时间内完成（我没有找到准确的信息）。

所以全球范围内你可以期待一个O（N²）解决方案。

Answer 3

如果你的距离是任意的，你不能将你的点嵌入欧几里德空间（和/或空间的维度真的很高），那么基本上没有办法绕至至少一个二次方时间算法，因为在检查所有对之前，你不知道最接近的对是什么。很容易接近这一点，基本上是根据距离对所有对进行排序，然后维护一个布尔查找表，指出列表中的哪些点已经被采集，然后按顺序浏览已排序的对列表并添加你最近邻居的一对积分＆＃34;如果该对中的两个点都不在获取点的查找表中，然后将该对中的两个点添加到查找表中，如果是这样的话。复杂度O（n ^ 2 log n），带有O（n ^ 2）额外空间。

Answer 4

你可以找到在O（nlogn）时间内运行的this divide and conquer algorithm最近的一对，你可以重复这n次，你会得到O（n ^ 2 logn），这并不比你得到的好。

然而，您可以利用分而治之算法的递归结构。想想看，如果你移除的那对点位于分区的右侧，那么左侧的一切都会表现相同，没有任何改变，所以你只需要自下而上重做O（logn）合并步骤。但是考虑到第一个新的合并步骤将合并2个元素，第二个合并4个元素然后8个，然后16个，...，n / 4，n / 2，n，所以这些合并步骤的操作总数是O（n），所以你在O（n）时间内得到第二个最接近的对。因此，通过删除先前找到的对来重复此n / 2次，并获得具有O（nlogn）额外空间的总O（n ^ 2）运行时以跟踪递归步骤，这稍微好一些。

但是你可以做得更好，有一个随机数据结构，可以让你在你的点集中进行更新并获得预期的O（logn）查询和更新时间。我对这个特定的数据结构不太熟悉，但您可以在this paper中找到它。这将使你的算法O（nlogn）预期时间，我不确定是否有一个具有相似运行时的确定性版本，但那些往往更麻烦。