Question

我想看看GCC是否会使用有符号和无符号整数将a - (b - c)减少为(a + c) - b，因此我创建了两个测试

//test1.c
unsigned fooau(unsigned a, unsigned b, unsigned c) { return a - (b - c); }
signed   fooas(signed   a, signed   b, signed   c) { return a - (b - c); }
signed   fooms(signed   a) { return a*a*a*a*a*a; }
unsigned foomu(unsigned a) { return a*a*a*a*a*a; }  

//test2.c
unsigned fooau(unsigned a, unsigned b, unsigned c) { return (a + c) - b; }
signed   fooas(signed   a, signed   b, signed   c) { return (a + c) - b; }
signed   fooms(signed   a) { return (a*a*a)*(a*a*a); }
unsigned foomu(unsigned a) { return (a*a*a)*(a*a*a); }

我先用gcc -O3 test1.c test2.c -S编译并查看了程序集。对于这两个测试fooau是相同的，但fooas不是。

据我所知，无符号算术可以从the following formula

派生

(a%n + b%n)%n = (a+b)%n

可用于表明无符号算术是关联的。但是由于signed overflow is undefined behavior这种相等不一定适用于有符号加法（即有符号加法不是关联的），这解释了为什么GCC没有将a - (b - c)减少到(a + c) - b的有符号整数。但是我们可以告诉GCC使用-fwrapv来使用这个公式。对两个测试使用此选项fooas是相同的。

但乘法怎么样？对于这两个测试，fooms和foomu被简化为三次乘法（a*a*a*a*a*a to (a*a*a)*(a*a*a)）。但乘法可以写成重复加法，所以使用上面的公式我认为可以显示

((a%n)*(b%n))%n = (a*b)%n

我认为

也可以表明无符号模乘也是关联的。但由于GCC仅对foomu使用了三次乘法，这表明GCC假设有符号整数乘法是关联的。

这似乎与我相矛盾。对于加法，有符号算术不是关联的，但对于乘法，它是。

两个问题：

添加是否与有符号整数无关，但乘法是否在C / C ++中？
如果使用带符号的溢出来进行优化，那么GCC没有减少代数表达式的事实是不能优化的吗？使用-fwrapv进行优化不会更好（我知道a - (b - c)到(a + c) - b并没有太大的减少，但我担心更复杂的情况）？这是否意味着优化有时候使用-fwrapv会更有效率，有时候不是吗？

Answer 1

不，乘法在有符号整数中不是关联的。考虑(0 * x) * x与0 * (x * x) - 后者有可能未定义的行为，而前者总是被定义。
未定义行为的可能性只会引入新的优化机会，典型的例子是为签名x + 1 > x优化true到x，无符号整数的优化。

我认为您不能认为gcc未能将a - (b - c)更改为(a + c) - b代表错失的优化机会;这两个计算在x86-64（leal和subl）上编译为相同的两个指令，只是顺序不同。

实际上，实现有权假设算术是关联的，并将其用于优化，因为任何事情都可能发生在UB上，包括模运算或无限范围算术。但是， you 作为程序员无权假设关联性，除非您能保证没有中间结果溢出。

另一个示例，请尝试(a + a) - a - gcc会针对已签名的a以及未签名的a将其优化为public ImageSource selectedImage { ImageSource temp; get{ if (selected) { temp=new BitmapImage(new Uri("ms-appx:////Assets/ic_selected.png", UriKind.RelativeOrAbsolute)); return temp ; } else { temp=new BitmapImage(new Uri("/Assets/ic_not_selected.png", UriKind.RelativeOrAbsolute)); return temp ; } } }。

Answer 2

如果对任何定义的输入集具有相同的结果，则可以执行有符号整数表达式的代数减少。所以如果表达式

a * a * a * a * a * a

定义

- 也就是说，a足够小，在计算过程中不会发生符号溢出 - 然后任何重新组合将产生相同的值，因为没有少于6的乘积{{1 s可以溢出。

a也是如此。

如果变量乘以（或添加）的变量不完全相同，或者加法与减法混合，则情况会发生变化。在这些情况下，重新组合和重新安排计算可能会导致签名溢出，这在规范计算中不会发生。

例如，采用表达式

a + a + a + a + a + a

代数地，这相当于

a - (b - c)

但编译器无法进行重新排列，因为中间值(a + c) - b可能会溢出输入，这不会导致原始溢出。假设我们有a+c然后a=INT_MAX-1; b=1; c=2;导致溢出，但a+c计算为a - (b - c)，即a - (-1)，没有溢出。

如果编译器可以假设有符号溢出没有陷阱，而是以模INT_MAX为模计算，那么这些重新排列是可能的。 INT_MAX+1选项允许gcc做出这样的假设。

C / C ++中有符号整数表达式的代数约简

2 个答案: