寻找在2D空间中指向的时间限制路径

Question

我正在尝试在3D空间中进行飞行计划，但我实际上想要先弄清楚在2D空间中进行飞行计划。我有：

• 具有已知当前位置和已知当前速度矢量的对象
• 空间中的理想点
• 期望的速度矢量
• 期望的时间

我想计划一个路线，让物体在所需的时间在所需的矢量上到达所需的点，并考虑起始矢量的物体。

我对如何实现这一点感到有点失落。任何帮助表示赞赏。

Answer 1

正如eigenchris在评论中指出的那样，这个问题有很多可能的解决方案，因此我将提出一种方法，该方法可以提供合理的结果，并允许灵活的自定义，具体取决于您所需的路径属性。

将问题分成两部分更容易，首先在2D中找到路径，然后沿着它计算距离，并解决将速度和加速度与距离匹配为1D（加时间）问题的问题。 p>

对于路径，Cubic Bézier curves似乎非常适合这个问题。 cubic Bézier curve由4个控制点P0，P1，P2和P3定义。

P0和P3是曲线的起点和终点。 P1和P2是控制点，用于指定起点和终点处的曲线的切线（分别由线P0-P1和P2-P3定义）。如果沿着曲线飞行，那些就是您在起点和终点处移动的方向。

这是一个interactive demo，可以了解控制点的位置如何影响曲线（立方Bézier是右边的蓝色曲线，有4个控制点）。

使用贝塞尔曲线定义飞行路径：

• 将P0设置为航线的起点
• 将P3设置为结束点
• 将P1设置为从P0
开始速度矢量方向的点
• 将P2设置为与P3
的结束速度矢量相反方向的点

请注意，从P0到P1以及从P2到P3的距离不代表起始速度和结束速度的大小。相反，它们指定曲线起点和终点处转弯的紧密度，以使曲线与起点和终点切线对齐。将控制点拉近并转动一圈，将它们向外推进一圈以获得更大的转弯。但是，如果你想要，你可以使转弯越大，所需的速度矢量越大，物理上就越逼真。

如果你不想一直转动，可以将路径分成几条Bézier曲线，或Bézier曲线然后是直线然后是Bézier曲线，并使切线与不同线段相交的位置匹配。例如，您可能希望在飞行路径的起点处采用弯曲路径，然后在大多数情况下沿直线行进，在末端跟随弯曲路径以与所需的最终方向向量对齐。这使您可以完全控制您的飞行路径。

该解决方案易于概括为三维。

现在你有了一条路径，你需要弄清楚如何沿着曲线加速和减速，以便在正确的时间和正确的速度到达目的地。首先，计算沿曲线的距离：

Arc Length of Bézier Curves

如果您知道开始时间，结束时间以及开始和结束速度（开始和结束速度矢量的大小），您可以计算出在开始和结束时间之间飞行的曲线的距离，假设你在旅途中从起始速度线性加速到结束速度（距离是线下面积）：

由于此区域很可能与沿Bézier曲线计算的距离不同，因此您需要创建一个分段函数，该函数在开始和结束时间之间的线下具有所需的区域。该图像显示了两个这样的功能来处理行进距离大于期望的情况，并且通过减速然后以恒定速度行进然后加速来减小面积，反之亦然。这些例子显示了加速度的瞬时变化，但速度没有变化。您可以选择任何您喜欢的功能，只要开始和结束时间的开始和结束速度与所需的值匹配，并且功能下的区域等于沿路径的距离。