Question

我在C ++中有以下代码：

for(int x = position.x; x < position.x + dimensions.x; ++x)
{
    for(int y = position.y; y < position.y + dimensions.y; ++y)
    {
        glm::vec2 tc = glm::vec2(x,y);
        tc -= spiralPosition;
        float distance = glm::length(tc-position);
        if(distance < spiralRadius)
        {
            float percent = (spiralRadius - distance) / spiralRadius;
            float theta = percent * percent * angle;
            float s = std::sin(theta);
            float c = std::cos(theta);
            tc = glm::vec2(glm::dot(tc,glm::vec2(c,-s)),glm::dot(tc,glm::vec2(s,c)));
        }
        tc += spiralPosition;
        returnValues[x][y] = noise->GetValue(tc);
    }
}

它的作用是产生一个梯度噪声值的容器。虽然它是这样做的，但它也会围绕震中旋转结果，就像旋风一样。它基于此处的代码，结果看起来完全相同：

http://www.geeks3d.com/20110428/shader-library-swirl-post-processing-filter-in-glsl/

我现在要做的是将其扩展为3D，4D，基本上 n D.

我不熟悉三角学，无法理解需要做什么。我有一个想法，第三个维度需要切线，但后来我失去了如何做第四个维度。

有人能指出一些有助于我理解的文章，谷歌并没有真正帮助我（但我老实说可能使用的搜索条件不正确）。

Answer 1

你的问题被标记为c ++，但是你不清楚你用于n维向量数学的类库，所以我会尝试纯数学地回答这个问题，假设你有类表示N维向量和NxN维矩阵（即从N维欧氏空间到自身的线性映射）。

概括你的2d代码，计算螺旋映射的算法就像：

将螺旋中心转换为原点（vector subtraction）。
从原点获取要映射的点的距离（使用N dimensional euclidean distance）。
根据距离（theta = percent * percent * angle;）
围绕中心旋转，将以该半径原点为中心的N-1维球体映射到自身上。
将原点翻译回螺旋中心。

第4步可能就是你被困的地方。在将（旋转）映射推广到N-1维的球体时，必须牢记Hairy ball theorem，其中指出：

在偶数维n球上没有非均匀的连续切向量场。

这意味着，对于奇维向量空间（即使是平面嵌入的球体），在螺旋映射中总是至少有一个可见的固定点，而这个不能是避免。在您的情况下，由于您正在使用旋转映射，因此将有两个固定点，每个固定点都在您所选择的旋转轴与n-1球体相交的位置。

现在，n维欧几里德空间中前两个维度之间的n维螺旋映射看起来像（作为NxN线性变换矩阵）：

    ⎡cos(θ)   −sin(θ)    0     .     0⎤
    ⎢sin(θ)    cos(θ)          .      ⎢
S = ⎢  0          0      1     .     0⎢
    ⎢  .          .      .     .      ⎢
    ⎣  0          0                  1⎦

然后可以在后续的轴对之间构成螺旋变换，以获得以下NxN线性变换矩阵：

    ⎡cos(θ)   −sin(θ)     0         0                  ⎤
    ⎢sin(θ)    cos(θ)     0         0                  ⎢
    ⎢  0         0      cos(θ)   −sin(θ)               ⎢
S = ⎢  0         0      sin(θ)    cos(θ)               ⎢
    ⎢                                      .           ⎢
    ⎢                                            .     ⎢
    ⎣                                                 1⎦

注意最后一个单元格中的尾随1？当你的N维空间具有奇数个维数时，那就是那里，并且，由于毛球定理，不能免除。

在3维中，这成为围绕Z轴的螺旋：

    ⎡cos(θ)   −sin(θ)      0⎤
S = ⎢sin(θ)    cos(θ)      0⎢
    ⎣   0         0        1⎦

因此，如果O是螺旋的中心，P是要转换的点，那么整体转换将是：

newP = O + S(P - O)

如果您希望围绕不同的轴螺旋，您将构造一个旋转矩阵R，将该轴带到Z轴，然后整个螺旋矩阵将变为(R⁻¹)*S*R。要创建旋转矩阵R，请参阅例如Rotating one 3-vector to another

如何旋转，旋转，螺旋的尺寸高于2D

1 个答案: