在二维空间中找到两倍最佳位置成本

Question

我有一个200维100维的网格。网格中的每个点（x，y）都有相关的成本，并且在整个空间中单调非递减。相关费用事先不知道。

我无法找到所有地点的费用。所以我所做的是找到最顶层的成本（100,100）。称之为成本C.然后在此2d网格上识别精确选择成本值的 iso-cost contours 。设C为成本位置（100,100）。轮廓的成本是经过精心选择的，最后轮廓（轮廓k）将是成本C（网格中的最大成本），轮廓k-1将是成本C / 2，轮廓k-2将像几何系列中的成本C / 4。等成本轮廓以黑色曲线显示。通过首先在左/上边缘定位种子然后沿其邻域探索来识别它们。

现在对于轮廓上的任何位置（x，y），最近轮廓的成本将给出位置成本（x，y）的近似值。也就是说，我们得到的成本值小于位置（x，y）的实际成本的两倍。轮廓上的每个位置（x，y）覆盖其第三象限中的区域。例如，位置M由成本C / 8的轮廓覆盖。 因此，对于任何给定的位置（x，y），我可以通过查看谁是其上方最近的轮廓及其成本来说明成本是多少。这给出了最接近的成本但不是位置（x，y）的确切成本，这足以满足我的需要。但它需要我 a）找到C，C / 2，C / 4到Cmin的完整isocost轮廓。 b）存储所有上述等高轮廓位置，即每个轮廓100个位置。

如何在探索和存储的空间中极少数点，并且仍能实现两倍最优成本的此属性？

注意：需要降低成本计算的位置数量。目前我正在计算所有isocost轮廓位置。 100乘100的分辨率用于解释问题。实际分辨率非常高。

Answer 1

您需要测试的最差情况下的位置有一个下限，它与您通过定位等概率轮廓得到的上限相差不远。

想象一下，除了*：

之外的每个值都知道

.  2  .
1  *  2
.  1  .

这个值可能是1或2.（如果这种歧义是可以接受的，那么你可以用2.001替换2.）所以，你需要对它进行抽样。您无法从其他站点的成本中确定价值。

设k = log_2（cost（n，n）/ cost（1,1））。您可以构建一个成本函数，以便在几乎nk个站点（大约k（n-k / 2）），您无法在不对该站点进行采样的情况下将成本确定为2。我将举例说明k = 3。

      8 8 8 8 8 8
    4 * 8 8 8 8 8
  2 * 4 * 8 8 8 8
1 * 2 * 4 * 8 8 8
1 1 * 2 * 4 * 8 8
1 1 1 * 2 * 4 * 8
1 1 1 1 * 2 * 4
1 1 1 1 1 * 2 
1 1 1 1 1 1

因此，您需要测试的网站数量是n>＆gt; k的theta（nk）。如果您有成本函数的概率模型，那么平均可以做得更好，而k与n相比较小。

Answer 2

即使我不清楚你的意思是“在整个空间中单调地不减少”，我理解这是对两个变量函数的约束最小化。

如果您的意思是成本在x和y方向上都是单调递减的。那就是：

成本（x1，y）＆lt; =成本（x2，y）对于任何x1＆lt; x2和任何y

和

成本（x，y1）＆lt; =成本（x，y1）对于任何y1＆lt; y2和任何x

如果是这种情况，解决方案是（1,1）。

如果我对约束的假设不正确，无论如何，从图中看起来解决方案就在边界上。在这种情况下，您不需要使用任何复杂算法进行约束最小化：只需在两个方向上从（1,1）开始探索边界，增加x并增加y。这从n ^ 2问题转移到n问题。