在同一行上的3个圆的交点 - Trilateration

Question

我遇到了一个问题：我想计算三个圆圈的交集。据我所知，我应该使用所谓的Trilateration。我用c ++实现了它。 article表示此解决方案有三个限制。

1. 所有三个中心都在z = 0，
的平面上
2. 球体中心P1位于原点
3. 并且球心P2位于x轴上

至于第一个“标准”，我无所事事，因为我不使用Z坐标，因为所有三个中心都在z = 0的平面上。 之后，我将点转换为第一个点（P1）的中心位于原点的位置。之后，我将P2（和P3也）点旋转到P2在x轴上的位置。

我的问题是：当所有三个中心都在X轴上时，我试图计算交叉区域的中心（通过使用wiki's article的算法计算），但计算不能完成。另一方面，没有任何限制，说“圆圈的中心不能在一条线上...... 让我们直观地看待我的问题，我只是画了它：



如您所见，三个圆在坐标为（4,3）的同一点上相互交叉。因此，存在这些点的解决方案，这些点都在同一条线上（在该示例中，在x轴上）。 圆的参数如下（x，y，半径）：

P1: (0,0,5)
P2: (4,0,3)
P3: (8,0,5)

正如我所提到的，我成功实现了Trilateration的算法，但它无法解决这个例子，结果是NaN（非数字）。当然我已经用另一个圆圈（不在同一条线上）尝试了这个算法，它运行正常。

所以我开始调试我的实现，我发现了问题所在。我的实现如下：

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <sstream>
#include <math.h> 
#include <vector>
std::ifstream infile("coordinateList.txt");
using namespace std;

std::vector<double> trilateration2D(double point1[], double point2[], double point3[], double r1, double r2, double r3) {
    std::vector<double> resultPose;
    //unit vector in a direction from point1 to point 2
    double p2p1Distance = pow(pow(point2[0]-point1[0],2) + pow(point2[1]-point1[1],2),0.5);
    double exx = (point2[0]-point1[0])/p2p1Distance;
    double exy = (point2[1]-point1[1])/p2p1Distance;

    //signed magnitude of the x component
    double ix = exx*(point3[0]-point1[0]);
    double iy = exy*(point3[1]-point1[1]);
    double i = ix+iy;
    //the unit vector in the y direction. 
    double eyx = (point3[0]-point1[0]-ix*exx)/pow(pow(point3[0]-point1[0]-ix*exx,2) + pow(point3[1]-point1[1]-iy*exy,2),0.5);
    double eyy = (point3[1]-point1[1]-iy*exy)/pow(pow(point3[0]-point1[0]-ix*exx,2) + pow(point3[1]-point1[1]-iy*exy,2),0.5);
    //the signed magnitude of the y component
    double jx = eyx*(point3[0]-point1[0]);
    double jy = eyy*(point3[1]-point1[1]);
    double j = jx + jy;
    //coordinates
    double x = (pow(r1,2) - pow(r2,2) + pow(p2p1Distance,2))/ (2 * p2p1Distance);
    double y = (pow(r1,2) - pow(r3,2) + pow(i,2) + pow(j,2))/(2*j) - i*x/j;
    //result coordinates
    double finalX = point1[0]+ x*exx + y*eyx;
    double finalY = point1[1]+ x*exy + y*eyy;
    resultPose.push_back(finalX);
    resultPose.push_back(finalY);
    return resultPose;
}
int main(int argc, char* argv[]){
    std::vector<double> finalPose;
    double p1[] = {0,0};
    double p2[] = {4,0};
    double p3[] = {8,0};
    double r1,r2,r3;
    r1 = 5;
    r2 =3;
    r3 = 5;
    finalPose = trilateration2D(p1,p2,p3,r1,r2,r3);
    cout<<"X:::  "<<finalPose[0]<<endl;
    cout<<"Y:::  "<<finalPose[1]<<endl;

}

当程序计算 eyx 和 eyy 时，除法中有零，不用说，除零不是“允许”。 eyx 和 eyy 是y方向上的单位向量，但是在这样的圆圈定位中，y方向上没有单位向量。

我的问题是：这个算法有第四个限制吗？在我看来，它会被写入文章，所以：你能否为这个问题建议其他解决方案，在这个问题上，当所有点都在同一条线上时，可以计算交点？ 提前谢谢！