问题是，我不太明白为什么double可以存储比无符号long long更多的数字。由于它们都是8字节长，所以64位。
在无符号long long中，所有64位用于存储值，另一方面double表示1表示符号，11表示指数，52表示尾数。即使用于尾数的52位将用于存储没有浮点的十进制数，它仍然有63位......
但LLONG_MAX明显小于DBL_MAX ......
为什么？
答案 0 :(得分：25)
原因是unsigned long long将存储精确整数，而double存储尾数（具有有限的52位精度）和指数。
这允许double存储非常大的数字（大约10 308 ），但不完全相同。 double中有大约15个（差不多16个）有效十进制数字，其余308个可能的小数是零（实际上是未定义的，但为了更好地理解，你可以假设为“零”）。
unsigned long long只有19个数字，但每个数字都是精确定义的。
修改
在回复以下评论“这是如何工作”时，符号为1位，指数为11位，尾数为52位。尾数在开头有一个隐含的“1”位，没有存储，所以有效地你有53个尾数位。 2 53 是9.007E15，因此您有15个，几乎16个十进制数字可供使用。
指数有一个符号位，范围从-1022到+1023，用于缩放（二进制左移或右移）尾数（2 1023 大约10 307 ，因此限制范围），因此这种格式同样可以使用非常小和非常大的数字
但是，当然，您可以表示的所有数字都具有与matissa相同的精度。
总而言之，浮点数不是很直观，因为“简单”十进制数不一定表示为浮点数。这是因为尾数是二进制的。例如，可以（并且很容易）表示任何高达几十亿的正整数，或者数字，如0.5或0.25或0.0125，具有完美的精度。
另一方面，也可以表示像10 250 这样的数字，但仅约为。事实上，你会发现10 250 和10 250 +1是相同的数字（等待，什么???）。这是因为虽然您可以轻松拥有250个数字，但您没有那么多重要数字（将“重要”视为“已知”或“已定义”）。
此外，表示像0.3这样看似简单的东西也只能近似，即使0.3甚至不是“大”数字。但是，你不能用二进制表示0.3，并且无论你附加什么二进制指数，你都不会找到任何导致精确为0.3的二进制数（但你可以非常接近）。
某些“特殊值”保留用于“无穷大”（正面和负面）以及“非数字”，因此非常轻微小于理论范围。
另一方面， unsigned long long不会以任何方式解释位模式。您可以表示的所有数字都只是位模式表示的确切数字。每个数字的每个数字都是精确定义的，不会发生缩放。
答案 1 :(得分：13)
IEEE754浮点值可以存储更大的范围数字，因为它们牺牲了精度。
由此，我的意思是64位整数类型可以表示其范围内的每个值，但64位双精度不能。
例如，尝试将0.1存储到double中实际上不会给你0.1，它会给你类似的东西：
0.100000001490116119384765625
（实际上是最近的单个精度值，但同样的效果将适用于双精度）。
但是，如果问题是“你怎么用更少的比特来获得更大的范围？”，那么只是使用其中一些比特来扩展这个值。
经典示例，假设您有四位十进制数来存储值。使用整数，您可以表示0000到9999的数字。该范围内的精度是完美的，您可以表示每个积分值。
但是，让我们使用浮动点并使用最后一位数作为比例，以便数字1234实际上代表数字123 x 104。
所以现在您的范围是0（由0000到0009代表）到999,000,000,000（由9999代表是999 x 109）。
但是你不能代表范围内的每个数字。例如，无法表示123,456，您可以使用的数字1233为您提供123,000。事实上，在整数值精度为四位数的情况下，现在只有三位。
那基本上是IEEE754如何工作，牺牲了范围的精度。
答案 2 :(得分：6)
这是尝试提供有关浮点编码如何工作的易于理解的解释。这是一种简化，它不包括真正的IEEE 754浮点标准的任何技术方面（归一化，有符号零，无穷大，NaN，舍入等）。但是，这里提出的想法是正确的。
了解浮点数如何工作受到以下事实的严重阻碍：计算机使用基数2中的数字，而人类不能轻易处理它们。我将尝试使用基础10解释浮点数的工作原理。
让我们使用符号和基数10数字（即我们每天使用的0到9的常用数字）构建浮点数表示。
我们假设我们有10个方格单元格，每个单元格可以包含一个符号（+或-）或一个十进制数字（0， 1，2，3，4，5，6，7，8或{{ 1}}）。
我们可以使用10位数来存储有符号整数。符号的一位数和值的9位数：
9这是值sign -+ +-------- 9 decimal digits -----+
v v v
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
| + | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 5 | 0 | 0 |
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
表示为整数的方式。
我们也可以使用它们来存储浮点数。例如，尾数为7位，指数为3位数：
1500这是 +------ sign digits --------+
v v
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
| + | 0 | 0 | 0 | 1 | 5 | 0 | + | 0 | 1 |
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
|<-------- Mantissa ------->|<-- Exp -->|
作为浮点值的可能表示之一（使用我们的十进制数字表示）。
尾数（1500）的值为M，指数（+150）的值为E。上面表示的值是：
+1整数表示可以存储V = M * 10^E = 150 * 10^1 = 1500
（-(10^9-1)）和-999,999,999（+(10^9-1)）之间的有符号值。此外，它可以表示这些限制之间的每个整数值。更重要的是，每个值都有一个表示，而且确切。
浮点表示可以存储+999,999,999和M之间的尾数（-999,999）以及+999,999和{之间的指数（E）的有符号值{1}}。
它可以存储-99和+99之间的值。这些数字有-999,999*10^99个数字，远远超过上面用整数表示的最大数字的+999,999*10^99个数字。
让我们注意，对于整数值，105存储符号和值的前6位（或更少），而9是不适合的数字位数M。
E让我们尝试使用我们的浮点编码来表示M。
由于V = M * 10^E
仅限于V = +987,654,321，因此只能存储M而+999,999将+987,654（E的最后3位数字不适合+3）。
将它们放在一起：
V这不是M的原始值，但我们可以使用此表示法获得最佳近似值。
请注意，使用相同的值（+987,654 * 10^(+3) = +987,654,000
）近似（包括）V和+987,654,000之间的所有数字。此外，无法存储大于+987,654,999的数字的十进制数字。
作为一般规则，对于大于M=+987,654, E=+3（+999,999）的最大值的数字，此方法会为M和+999.999之间的所有值生成相同的表示形式（整数或实数值，它并不重要）。
对于较大的值（大于+999,999*10^E的最大值），浮点表示在它可以表示的数字之间存在间隙。随着+999,999*10^(E+1)-1的值增加，这些差距变得越来越大。
＆＃34;浮点＆＃34;的全部概念是存储十几个最具代表性的数字（数字的开头）和数字的大小。
让我们以光速为例。它的值约为M。如此庞大，对于大多数实际目的而言，如果它是E或300,000 km/s，你就不在乎。
事实上，它甚至不是那么大，更好的近似是
300,000.001 km/s。
浮点数提取光速的重要特征：其幅度为几十万km / s（300,000.326 km/s），其值为299,792.458 km/s（几十万km /或多个）。
E=5我们的浮点表示可以通过以下方式逼近：3（speed of light = 3*10^5 km/s
，299,792 km/s）。
答案 3 :(得分：3)
发生了什么样的魔法？
允许您表示101位数字
的同样魔力10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
作为
1.0 * 10100
这只是基础10而不是基数10：
0.57149369564113749110789177415267 * 2333。
此表示法允许您以紧凑的方式表示非常大（或非常小）的值。您可以存储有效数字（例如尾数或分数）和指数，而不是存储每个数字。这样，数百个十进制数字长的数字可以用只占64位的格式表示。
指数允许浮点数表示如此大的范围值。指数值1024仅需要10位来存储，但21024是308位数。
权衡是，并非每个值都可以完全表示。对于64位整数，0和264-1（或-263到263-1）之间的每个值都具有精确的表示。由于几个原因，浮点数不是这样。首先，你只有这么多位，只给你很多精度数字。例如，如果您只有3位有效数字，那么您不能表示0.123和0.124之间，或1.23和1.24，或123和124，或1230000和1240000之间的值。当您接近范围的边缘时，可表示值之间的差距变得更大。
其次，就像有些值无法用有限数字表示（3/10给出非终止序列0.33333...10），有些值无法用有限数字表示位（1/10给出非终止序列1.100110011001...2）。
答案 4 :(得分：2)
也许你觉得＆＃34;存储一个N位的数字＆＃34;是一种基本的东西，而有各种方法可以做到这一点。事实上，更准确地说我们表示一个N位的数字，因为意义取决于我们采用的约定。原则上，我们可以采用任何我们喜欢的约定，其中N位模式代表不同的数字。存在二进制约定，用于unsigned long long和其他整数类型，以及用于double的尾数+指数约定，但我们也可以定义我们自己的（荒谬）约定，其中例如，所有位零意味着您需要指定的任何大数字。在实践中，我们通常使用允许我们使用运行程序的硬件有效地组合（添加，乘法等）数字的约定。
那就是说，你的问题必须通过比较最大二进制N位数和最大数量的2^exponent * mantissa来解答，其中exponent mantissa是E-和M位二进制数（在尾数的开头隐含1）。这是2^(2^E-1) * (2^M - 1)，通常确实远大于2^N - 1。
答案 5 :(得分：0)
Damon和Paxdiablo解释的一个小例子：
#include <stdio.h>
int main(void) {
double d = 2LL<<52;
long long ll = 2LL<<52;
printf("d:%.0f ll:%lld\n", d, ll);
d++; ll++;
printf("d:%.0f ll:%lld\n", d, ll);
}
输出：
d:72057594037927936 ll:72057594037927936
d:72057594037927936 ll:72057594037927937
两个变量都会以相同的方式递增，移位为51或更小。