我正在研究一个我必须用分支定界算法解决的问题。假设我们有n个加油站，起点距离值不同。车站有不同的利润。我们希望最大化利润，但每个站点必须至少远离K长度。我用动态算法解决了这个问题，但是找不到分支定界算法的解决方案。实际上，我需要一个好的目标函数来确定绑定。我尝试了很多功能，但都失败了。感谢。
实施例： N = 5 设k = 10
距离值 l1 = 5，l2 = 15，l3 = 23，l4 = 30，l5 = 38
利润： p1 = 7，p2 = 3，p3 = 10，p4 = 12，p5 = 6
答案 0 :(得分：0)
这是一个相当典型的包装问题。我们可以将它表示为整数程序。如果我们打开电台x_i和1，请i为0。然后目标是
n
maximize sum profit_i x_i.
i=1
限制因素是我们不在距离k内打开两个电台。我们可以在站点上滑动长度为k的窗口，为每个最大子集发出约束。对于距离值l_1 = 5, l_2 = 15, l_3 = 23, l_4 = 30, l_5 = 38和k = 16，我们有约束
x_1 + x_2 <= 1 (y_1) { 5, 15}
x_2 + x_3 + x_4 <= 1 (y_2) {15, 23, 30}
x_3 + x_4 + x_5 <= 1 (y_3) {23, 30, 38}.
最后，每个电台都是开放的。
for all i, x_i in {0, 1}
我们解决所有这些问题的原因如下。首先，我们可以通过将x_i in {0, 1}替换为x_i >= 0来放宽约束。现在我们有一个线性程序。我们知道
value of linear program >= value of integer program,
因为整数程序的每个解决方案都是线性程序的有效解决方案。关于线性程序的美妙之处在于它们具有双重程序，在某些技术限制下，通过LP二元性，满足
value of dual program = value of linear program >= value of integer program.
这很重要，因为这里的双程序是最小化，所以任何旧的解决方案都会给我们一个原始整数程序的限制（即我们实际关心的问题）。
这是从线性程序中机械推导出来的。我将在下面直观地解释它。一般版本：
m
minimize sum y_j
j=1
for all i, sum over windows j containing station i of y_j >= profit_i
for all j, y_j >= 0.
具体版本（上述具体LP的双重版本）：
minimize y_1 + y_2 + y_3
y_1 >= profit_1 (x_1)
y_1 + y_2 >= profit_2 (x_2)
y_2 + y_3 >= profit_3 (x_3)
y_2 + y_3 >= profit_4 (x_4)
y_3 >= profit_5 (x_5).
y_1, y_2, y_3 >= 0.
直观地说，我们正在计算对每个窗口征税多少，以便建立任何一个站点是一个收支平衡的主张。我们收取的税收越少，电台的价值就越低。
双程序可以通过LP解决（实际上可能是整数最优;这是伪装中的最短路径问题）。这是一种更容易实现的近似算法。
如果y_i出现在未满足的双重约束的左侧，则每个y_i 活动。虽然有些y_i处于有效状态，但我们会以相同的速率连续增加所有有效y_1 >= profit_1 = 1
y_1 + y_2 >= profit_2 = 2
y_2 + y_3 >= profit_3 = 4
y_2 + y_3 >= profit_4 = 5
y_3 >= profit_5 = 3.
。在实践中，我们首先找出满足哪个约束，然后直接到达该点的步骤时间。
让我们假设约束与以前一样
0最初所有变量都是1并且处于活动状态。当他们点击profit_1时，profit_2和y_1约束就会得到满足。因此y_2被停用，因为它不参与其他约束。我们继续将y_3和2增加到profit_3，然后满足profit_4约束。两个变量都参与2.5约束，因此它们保持活动状态。当我们增加到profit_4时，y_2约束就会得到满足，并且y_3不再有效。我们继续，将3增加到y_1 = 1，以获得y_2 = 2.5和y_3 = 3以及6.5的最终解决方案，以获得值y_1 = 1。对于值y_2 = 2，最佳值为（例如）y_3 = 3和6以及.pusher。