解决一些未知数必须是整数的方程式

Question

解决 s 和 t ₁ ... t _n 最小化以下总和：

Σ ⁿ _{k = 1} （1 - min（ s · 吨 <子> ķ ， C <子> ķ ）/最大（取值·吨 <子> ķ ， C <子> ķ< / EM> ）），

其中

C ₁ ... C _n ＆gt; 1， s ＆gt; 0， t ₁ ... t _n ∈ℤ ⁺

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编辑以澄清问题描述：

“你需要多快的算法。”不是超快（但不是多秒）。 n将在5-10左右左右。

就实际问题而言，我在“页面”上有许多不同大小的“元素”，这个页面需要翻译成一个格式，其中X元素的最大基本大小，并且元素的基本大小必须是整数。但是，在新格式中，任何元素都可以通过为页面设置的单个缩放因子来扩展。

所以C ₁ ... C _n 是原始页面上元素的大小。 t ₁ ... t _n 是新页面格式的新整数。 （并且t ₁ ... t _n 需要小于X.）新页面格式的缩放因子是s。

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更多：

就我之前所做的，我找到原始页面上的最大元素，如果它小于X，我只使用新页面上的现有元素大小，但将每个元素舍入为整数。但是，如果原始页面上的最大元素大于X，我将其大小除以X以获得新页面的缩放因子s，并除以C ₁ ... C _n by s得到t ₁ ... t _n 。但这导致新页面上每个元素的平均大小差异为1-3％，但最大。并不是那么明显，但我是一个完美主义者。

Answer 1

Answer 2

请使用Maple，Mathcad或Sage。这是一个软件列表，可以帮助您：http://en.wikipedia.org/wiki/Comparison_of_computer_algebra_systems

Answer 3

我认为无理由给出了正确的答案。你需要阅读一本关于“非线性整数规划”的书。我没有推荐你的好书，但你可以通过去图书馆找到一些东西。

我不认为lp_solve对你来说不够好，因为你无法将你的问题重写为混合整数整数线性规划问题（MILP）。 Maple和Mathcad不是一个好主意，因为你不是在寻找符号代数包。

我猜我们这本书会告诉你做分支。这是一个示意图：

1）开始解决一个广义问题，其中t_k都是真正的prsitime数

最小化Σnk= 1（1 - min（s·tk，Ck）/ max（s·tk，Ck））， 在约束条件下，s> 0，t1 ...tn∈R+

。您可以使用广义牛顿方法来执行此操作。 Matlab和scipy提供了开箱即用的广义求解器，但要小心，因为你的函数可能有几个局部最小值。

2）找到此解决方案后，您可以执行分支步骤。选择变量t_k和整数a_k，并独立解决以下两个问题

问题1 最小化Σnk= 1（1 - min（s·tk，Ck）/ max（s·tk，Ck））， 在约束条件下，s> 0，t1 ...tn∈R+和t_k <= a_k

问题2 最小化Σnk= 1（1 - min（s·tk，Ck）/ max（s·tk，Ck））， 在约束条件下，s> 0，t1 ...tn∈R+和t_k> = a_k

3）继续执行分支步骤，直到将问题分解为一组子问题，每个子问题都有一个整数解决方案。然后，您可以比较这些整数解决方案并选择最佳解决方案。

正如您可能已经猜到的那样，这种描述在某种程度上是示意性的。您需要良好的分支规则来分支正确的方法，并且您需要良好的边界规则以避免遵循不合适的分支。