Question

Applicative，Monad和Arrow等类型类似乎在类型类中具有某种等价类型，例如Alternative，MonadPlus和ArrowPlus分别。例如，Applicative和Alternative可用于定义以下内容：

(<&&>) :: Applicative f => f a -> f b -> f (a, b)
a <&&> b = (,) <$> a <*> b

(<||>) :: Alternative f => f a -> f b -> f (Either a b)
a <||> b = (Left <$> a) <|> (Right <$> b)

但是，在所有这些情况下（以及ArrowChoice），产品类型类是sum类型的先决条件。是否存在依赖于先决条件类的类型规则或常用函数？ Typeclassopedia涉及这些关系，但不幸的是我找不到任何明确的依赖性原因。

Answer 1

Arrow基本上是monoidal categories ¹的类 - “monoid”不是指Monoid，而是产品 - Haskell的monoid类型。即，单位元素()和乘法(,)。现在，sum类型也构成了一个monoid，这就是ArrowChoice使用的。这两个类在这个意义上是互补的; ArrowChoice不应该是Arrow的子类。

在幺半群类别中，您可以继续monoidal functors。这些如何出来取决于你使用什么作为你的类型幺半群。对于(), (,)，您可以获得

class ProdMonoidalFtor f where
  prodUnit :: () -> f ()
  prodZip :: (f a, f b) -> f (a,b)

type (+) = Either
class SumMonoidalFtor f where
  sumUnit :: Void -> f Void
  sumZip :: f a + f b -> f (a+b)

原来后者基本没用，因为Void是 Hask 的initial object，意味着只存在一个Void -> a（即{{3} }）所有类型a。但是，使用+的 comonoidal仿函数是有道理的：

class SumCoMonoidalFtor f where
  sumCounit :: f Void -> Void -- I bet you find this useless too, but it's not totally.
  sumCozip :: f (a+b) -> f a + f b

反过来对产品类型没有意义，因为()是终端对象。

现在有趣的是ProdMonoidalFtor相当于Applicative：

instance (ProdMonoidalFtor f) => Applicative f where
  pure x = fmap (const x) $ prodUnit ()
  fs <*> xs = fmap (\(f,x) -> f x) $ prodZip (fs,xs)

有人可能会怀疑Alternative等同于SumMonoidalFtor，但事实并非如此！实际上，它相当于absurd，而decisive functors则适用于monad。

虽然Alternative和MonadPlus似乎没有太多的数学支持，但它们基本上是你在“取消使用”ArrowChoice类时得到的，但使用的是Kleisli类别来自ProdMonoidalFtor。这有点可疑。

¹ _{仅考虑first / left，second / right和*** / {{ 1}}。至于剩余的+++，&&&和|||，这些更具体，IMO属于comonads。}

Haskell类型类中的乘积和和类型Parallels

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