如何从多项式拟合中绘制参数误差 - MATLAB

Question

我有一个数据列表，我试图适应多项式，我试图绘制参数的95％置信区间（在Matlab中）。 如果我的数据是x和y

f=fit(x,y,'poly2')
plot(f,x,y)
ci=confint(f,0.95);
a_ci=ci(1,:);
b_ci=ci(2,:);

我不知道如何在此之后继续获取数据的最小和最大波段。有谁知道这是怎么做到的吗？

Answer 1

我可以看到您安装了曲线拟合工具箱，这很好，因为您需要它才能使以下代码正常工作。

示例数据的基本拟合

让我们定义一些示例数据和一个可能的拟合函数。 （我也可以在这里使用poly2，但我想保持它更一般。）

xdata = (0:0.1:1)';               % column vector!
noise = 0.1*randn(size(xdata));
ydata = xdata.^2 + noise;
f = fittype('a*x.^2 + b'); 
fit1 = fit(xdata, ydata, f, 'StartPoint', [1,1])
plot(fit1, xdata, ydata)

旁注：plot()不是我们通常的情节函数，而是method of the cfit-object fit1。

拟合参数的置信区间

我们的拟合使用数据来确定基础模型a的系数b，f(x)=ax2+b。你已经这样做了，但为了完整起见，你可以在这里读出任何置信区间系数的不确定性。系数按字母顺序排列，这就是我可以ci(1,:)用于a的原因，等等。

names = coeffnames(fit1)   % check the coefficient order!
ci = confint(fit1, 0.95);  % 2 sigma interval
a_ci = ci(1,:)
b_ci = ci(2,:)

默认情况下，Matlab使用2σ（0.95）置信区间。有些人（物理学家）更喜欢引用1σ（0.68）区间。

置信度和预测带

在数据周围绘制confidence bands or prediction bands是一个好习惯 - 特别是当系数相关时！但是你应该花一点时间思考你想要绘制的两个中的哪一个：

• 预测频段：如果我采用新的测量值，我预计它会在哪里撒谎？在Matlab术语中，这被称为“观察带”。
• 信心带：我认为真正的价值在哪里？在Matlab术语中，这称为“功能带”。

与系数的置信区间一样，Matlab默认使用2σ波段，我们中的物理学家将其切换为1σ区间。就其本质而言，预测带更大，因为它是模型误差（置信带！）和测量误差的组合。

还有另一个目标，一个我不完全理解的目标。 Matlab和维基百科make that distinction。

• 逐点：单个测量/真值的预测/置信带有多大？在我能想到的几乎所有情况下，这都是你想要作为物理学家的要求。
• 同时：如果您想要一组具有给定置信度的所有新测量/所有预测点位于频段内，您有多大的预测/置信带？

在我个人看来，“同步乐队”不是乐队！对于具有n个点的测量，它应该是n个单独的误差条！

预测/置信区分和逐点/同时区分为图表周围的“带”提供了总共四个选项。 Matlab使2σ逐点预测带易于访问，但您似乎感兴趣的是2σ逐点置信带。绘制是bit more cumbersome，因为您必须指定用于评估预测带的虚拟数据：

x_dummy = linspace(min(xdata), max(xdata), 100);
figure(1); clf(1);
hold all
plot(xdata,ydata,'.')
plot(fit1)    % by default, evaluates the fit over the currnet XLim
% use "functional" (confidence!) band; use "simultaneous"=off
conf1 = predint(fit1,x_dummy,0.95,'functional','off');
plot(x_dummy, conf1, 'r--')
hold off

请注意，x=0处的置信区间等于拟合系数b的置信区间！

外推法

如果您想要推断数据范围未涵盖的x值，您可以评估拟合和预测/置信区间的更大范围：

x_range = [0, 2];
x_dummy = linspace(x_range(1), x_range(2), 100);
figure(1); clf(1);
hold all
plot(xdata,ydata,'.')
xlim(x_range)
plot(fit1)
conf1 = predint(fit1,x_dummy,0.68,'functional','off');
plot(x_dummy, conf1, 'r--')
hold off