Question

我正在尝试解决整数线性规划问题的一个特例，但我似乎是算法上的堆栈。

具体来说，假设你有一些二进制变量x_{1}, ... x_{n}和一些形式的不等式：

i.e. x_{2} + x_{3} + x_{10} <= 2

注意，不等式的系数都是一致的，右侧总是左侧的变量数减去1。

另外，请记住变量x_{1}, ..., x_{n}可以取0或1的值。

这是一个功课（编写一个程序），但我找不到一个算法来启动。你能帮忙吗？

我尝试使用DP和Network Flow，但没有任何结果。谢谢。

目标函数（在编辑中丢失）是最大化总和：

x_{1} + ... + x_{n}

Answer 1

问题相当于Set Cover：http://en.wikipedia.org/wiki/Set_cover_problem#Integer_linear_program_formulation。轻松查看此问题的一种方法是将x_{i}替换为1-y{i}，这会产生等效的0-1线性编程问题，即

maximize (1-y_{1}) + (1-y_{2}) + ... + (1-y_{n}) = n - (y_{1} + ... + y_{n}),
which is equivalent to minimizing y_{1} + ... + y_{n},

subject to the following family of inequalities indexed by j: 
  (1-y_{i_{1j}}) + (1-y_{i_{2j}}) + ... + (1-y_{i_{kj}) <= k-1,
which are equivalent to:
  y_{i_{1j}} + y_{i_{2j}} + ... + y_{i_kj} >= 1

问题的等效公式是Set Cover的0-1整数线性规划公式。

贪婪算法将在这种情况下提供合理的近似值。确定x_{i}中最常出现在约束中的哪一个，并将其设置为等于0. x_{i0}出现的所有约束现在都已满足，因此可以将它们从考虑中删除，并将变量{ {1}}可以从目标中移除。重复使用变量x_{i0}，该变量最常出现在其余约束中，等等。

或者，实际线性编程也会提供近似值。

由于Set Cover是NP-hard，你能找到的最精确的解决方案将是指数级的。一个简单的算法只会尝试所有可能性（遍历从x_{i1}到x_{n}x_{n-1}...x_{1}x_{0} = 00...00的所有二进制数。如果搜索，肯定会有更快（但仍然是指数时间）的算法。

整数线性规划特例

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