为什么在使用FFT时我的卷积结果会发生偏移

Question

我正在使用Radix-2 Cooley-Tukey FFT / FFT-inverse实现Convolutions，我的输出是正确的，但在完成后移位。

我的解决方案是将输入大小和内核大小填充到2 ^ m以获得最小可能的m，使用FFT转换输入和内核，然后将两个元素相乘并使用FFT-inverse将结果转换回来。

作为结果问题的一个例子：

 0  1  2  3  0  0  0  0
 4  5  6  7  0  0  0  0
 8  9 10 11  0  0  0  0
12 13 14 15  0  0  0  0
 0  0  0  0  0  0  0  0
 0  0  0  0  0  0  0  0
 0  0  0  0  0  0  0  0
 0  0  0  0  0  0  0  0

使用标识内核

0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

变为

 0  0  0  0  0  0  0  0
 0  0  1  2  3  0  0  0
 0  4  5  6  7  0  0  0
 0  8  9 10 11  0  0  0
 0 12 13 14 15  0  0  0
 0  0  0  0  0  0  0  0
 0  0  0  0  0  0  0  0
 0  0  0  0  0  0  0  0

似乎任何大小的输入和内核产生相同的移位（1行和1列），但我可能是错的。我使用this link的在线计算器执行了相同的计算！得到相同的结果，所以我可能错过了一些基础知识。我的可用文献没有帮助。所以我的问题，为什么会发生这种情况？

Answer 1

所以我最终找到了答案为什么这种情况发生在我自己身上。回答是通过卷积的定义和那里发生的索引来给出的。因此，根据定义， s 和 k 的卷积由

给出

(s*k)(x) = sum(s(k)k(x-k),k=-inf,inf)

这个公式的内核中心不“已知”，因此我们做了一个抽象。将 c 定义为卷积的中心。当总和中 x-k = c 时， s（k）是 s（x-c）。所以包含有趣产品 s（x-c）k（c）的总和最终在索引 x 。换句话说，通过 c 向右移动。

Answer 2

FFT快速卷积执行循环卷积。如果将零填充为零，使得数据和内核在相同大小的NxN数组中以（0,0）循环居中，则结果也将保持居中。否则任何偏移都会增加。