在Matlab中以正好奈奎斯特速率进行采样

Question

今天我在matlab中偶然发现了一个奇怪的结果。假设我有一个正弦波，

f = 1;
Fs = 2*f;
t = linspace(0,1,Fs);    
x = sin(2*pi*f*t);
plot(x)

结果如图所示。

当我设置时，

f = 100

结果如下图所示，

这究竟是什么原因？它是奈奎斯特采样定理，因此它应该正确地产生正弦。当然，当我采取 Fs＆gt;＆gt; f 我得到了更好的结果和非常好的正弦形状。我对自己的解释是，Matlab在浮动数字方面遇到了困难，但我不确定这是否属实。有人有什么建议吗？

Answer 1

在第一种情况下，您只生成2个样本（linspace的第三个输入是样本数），因此很难看到任何内容。

在第二种情况下，从0到1生成200个样本（包括这两个值）。因此采样周期为1/199，采样频率为199，略低于奈奎斯特速率。所以存在别名：你会看到频率为100的原始信号加上频率为99的别名。

换句话说：以下代码再现了您的第二个数字：

t = linspace(0,1,200);
x = .5*sin(2*pi*99*t) -.5*sin(2*pi*100*t);
plot(x)

上面的.5和-.5源于这样的事实：正弦波可以被分解为正频率和负频率的两个频谱增量之和，并且这些增量的系数具有相反的符号。

这两个正弦波的总和相当于幅度调制，即由频率为1/2的正弦调制的频率为99.5的正弦波。由于时间跨度从0到1，调制器信号（其频率为1/2）仅完成半个周期。这就是你在第二个数字中所看到的。

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为避免混叠，您需要将采样率提高到奈奎斯特速率以上。然后，要从其样本中恢复原始信号，您可以使用截止频率为Fs / 2的理想低通滤波器。但是，在您的情况下，由于您正在 奈奎斯特速率下采样，您将不以频率100恢复信号，而是在频率99处恢复其别名。

如果您将高于奈奎斯特速率进行采样，例如Fs = 201，则可以从样本中理想地恢复原始信号。^†但这需要一个几乎理想的低通滤波器，在通带和阻带之间有非常尖锐的转换。也就是说，别名现在处于频率101并且应该被拒绝，而所需信号将处于频率100并且应该被传递。

要放宽过滤器要求，您需要远高于奈奎斯特率。这样，别名就会从信号中进一步说明，过滤器可以更轻松地将信号与别名分开。

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^{†这并不意味着图表看起来像原始信号（见SergV's answer）;它只意味着在理想的低通滤波之后它将会出现。}

Answer 2

你的问题与奈奎斯特定理和混叠无关。这是图形表示的简单问题。您可以更改您的代码，正弦频率将低于奈奎斯特限制，但图形将像以前一样奇怪：

t = linspace(0,1,Fs+2);
plot(sin(2*pi*f*t));

结果：

解释问题我修改了你的代码：

Fs=100;
f=12;  %f << Fs
t=0:1/Fs:0.5; % step =1/Fs
t1=0:1/(10*Fs):0.5;   % step=1/(10*Fs) for precise graphic representation
subplot (2, 1, 1);
plot(t,sin(2*pi*f*t),"-b",t,sin(2*pi*f*t),"*r");
subplot (2, 1, 2);
plot(t1,sin(2*pi*f*t1),"g",t,sin(2*pi*f*t),"r*");

查看结果：

• 红星 - sin（2 * pi * f）的值，采样率 Fs 。
• 蓝线 - 连接红色星星的线条。它通常是函数 plot（）的数据表示 - 数据点之间的行插值
• 绿色曲线 - 罪（2 * pi * f）

你的眼睛和大脑很容易理解这些图表代表正弦

将频率更改为更高：

f=48;   % 2*f < Fs !!!

参见蓝线和红星。你的眼睛和大脑现在不明白这些图表代表相同的正弦。但是你的红星＆＃34;实际上是有效的正弦值。见下图。

最后，频率 f = 50 （2 * f = Fs）的正弦图形相同：

P.S。

Nyquist-Shannon采样定理为您的情况说明如果：

1. f＆lt; 2 * Fs的
2. 您有无限个样本（我们的地块上的红色星星）

然后您可以随时重现功能值（我们的图上的绿色曲线）。您必须使用 sinc interpolation 来执行此操作。

Answer 3

从Matlab帮助中复制：

linspace

生成线性间隔的向量 语法

y = linspace(a,b)
y = linspace(a,b,n)

描述

linspace函数生成线性间隔的向量。它类似于冒号运算符“：”，但可以直接控制点数。

y = linspace（a，b）生成一个100行点的行向量y，其间包含a和b。

y = linspace（a，b，n）生成n个点的行向量y，所述n个点在a和b之间线性地间隔开并且包括a和b。对于n < 2，linspace返回b。 实例

创建一个从1到500的100个线性间隔数字的向量：

A = linspace(1,500);

创建一个从1到36的12个线性间隔数字的向量：

A = linspace(1,36,12);

Answer 4

对于奈奎斯特间隔，linspace不明显，因此您可以使用常见形式：

t = 0:Ts:1;

或

t = 0:1/Fs:1;

并更改Fs值。

第一个图是由于＆＃39; 0＆＃39;：sin（0）和sin（2 * pi）的近似值。我们可以注意到范围是10 ^（ - 16）级。

Answer 5

我编写了函数reconstruct_FFT，如果样本的输入序列是周期性的，即使是短的观察间隔也能恢复关键采样数据。它在频域中执行低通滤波。