Question

假设您有一个float64_t数字，其中包含一个任意值，并且您想知道所述数字是否可以安全地降为float32_t，并且限制所产生的舍入误差不得超过给定的epsilon。

可能的实现可能如下所示：

float64_t before = 1.234567890123456789;
float64_t epsilon = 0.000000001;
float32_t mid = (float32_t)before;  // 1.2345678806304931640625
double after = (float64_t)mid; // 1.2345678806304931640625
double error = fabs(before - after); // 0.000000009492963526369635474111
bool success = error <= epsilon; // false

为了让事情变得更有趣，让我们假设您不应该对这两种类型之间的值进行任何实际类型转换（如上所示）。

只是为了提升一个档次：让我们假设您不转向float32_t，但浮点类型 任意精度（8位，16位，32位，甚至可能是24位）由其位数和指数长度指定（并遵循IEEE 754的约定，例如舍入为偶数）。

所以我正在寻找的是一种类似于此的通用算法：

float64_t value = 1.234567890123456789;
float64_t epsilon = 0.000000001;
int bits = 16;
int exponent = 5;
bool success = here_be_dragons(value, epsilon, bits, exponent); // false

举一个例子，将64位数字1.234567890123456789向下压缩到较低的精度会导致以下舍入误差：

 8bit: 0.015432109876543309567864525889
16bit: 0.000192890123456690432135474111
24bit: 0.000005474134355809567864525889
32bit: 0.000000009492963526369635474111
40bit: 0.000000000179737780214850317861
48bit: 0.000000000001476818667356383230
56bit: 0.000000000000001110223024625157

众所周知：

所讨论的两种精度类型的规范（精度低于另一种）：
- 总长度（以位为单位）（浮动为32，例如）
- 指数长度（以位为单位）（浮点数为8，例如）
每种类型的min和max值（可以从上面得出）。
正正常值的数量（不包括零）（((2^exponent) - 2) * (2^mantissa)）
指数的bias（(2^(exponent - 1)) - 1）
实际value（以给定的更高精度类型提供）。
为了被视为成功，允许向下转换的误差阈值epsilon（也在给定的更高精度类型中提供）。

（预期误差的近似值可能已足够，具体取决于其准确度和偏差因子。显然，确切的计算是合适的。）

无需涵盖的案例（因为它们可以单独解决）：

如果输入值为非正常值（次正常，无穷大，纳米，零......），则答案应定义为true。
如果输入值在给定类型的较低精度的已知边界（+ - 给定的epsilon）之外，那么答案应定义为false。< / LI>

到目前为止我已经想到了什么：

我们知道给定浮点类型中正正常值（不包括零）的计数，并且我们知道负值空间对称到积极一。

我们也知道离散值在值范围内（远离零）的分布遵循指数函数及其相对epsilon 相关的阶跃函数：

应该可以计算给定浮点类型实际值的nth 离散正态值 >会落到（通过某种对数投影，还是什么？），不应该吗？鉴于此n，应该能够从步骤函数计算相应值的epsilon ，并将其与指定的最大错误进行比较，不是吗？

我觉得这实际上足以计算（或至少准确估计）预期的铸造误差。我根本不知道如何把这些东西放在一起。

你会怎么做？（实际代码的奖励积分：P）

_{Ps：提供更多上下文：我正在进行var_float实现，以便找出给定值的最小无损（或给定epsilon内的有损）可转换表示我目前正在利用上述天真的往返逻辑执行二进制搜索，以找到合适的大小。它有效，但缺乏效率和凉爽部门。即使它绝不是性能瓶颈（yada yada早熟优化yada yada），我很好奇是否可以找到更加数学基础和优雅的解决方案。 ;）}

Answer 1

以下内容可能有效：

double isbad(double x, double releps) {
  double y = x * (1 + 0x1.0p29);
  double z = y-x-y+x;
  return !(fabs(z/x) < releps);
}

这使用了一个技巧（由于Dekker，我相信）将浮点数分成“大半”和“小半”，它们与原始数字完全相加。我希望“大半”有23位而“小半”有其余的，所以我用常数1 + 2 ^（52-23）分割。

注意事项：您需要通过检查上限和下限来处理更有限的指数范围。次正规（特别是小型但不是大型的结果是低于正常的情况）需要不同的特殊处理。我写了!(fabs(z/x) < releps)而不是fabs(z/x <= releps因为我希望NaN符合“坏”的条件。 releps是该变量的错误名称，因为阈值实际上比使用舍入到最近时指定的数字大半个ulp。

Answer 2

向下转换相当于将尾数的最低有效位设置为零。

因此，对于给定的浮点数，只需提取尾数的最低有效位（宽度取决于向下转换类型）并使用当前指数进行缩放。这应该（非常精确地）是在向下转换中发生的“舍入误差”。

<小时/> 的修改

如上述评论所述，上述情况仅适用于所有案例的50％。（当向下转向导致向下舍入时）。如果向下转向导致四舍五入，稍微修改的方法将有所帮助：

（极端/极端情况：示例：下调类型的五位尾数）

Rounding down: 0x1.00007fff -> 0x1.0000 
               -> Err == 0x0.00007fff

Rounding up:   0x1.00008000 -> 0x1.0001 -> Err == 0x1.00010000 - 0x1.00008000
               -> Err == 0x0.00008000

准确预测任意浮点格式之间的转换舍入误差

2 个答案: