Question

我有这个算法来查找有向图是否具有唯一的拓扑顺序

最后，我在L中有顶点的拓扑顺序。如果我可以在步骤2中选择多个顶点，那么这个拓扑顺序不是唯一的。如果我在图表为空之前遇到任何这些步骤，则意味着该图表根本没有拓扑顺序。

我认为这个算法的时间复杂度是O（n），其中n是图中顶点的数量，但显然这是不对的。

Answer 1

让m为边数，n为顶点数。您的算法的简单实现是O(nm)。如果通过遍历可以执行O(m)次循环的n迭代的边集来实现步骤2。

但是，您可以按照以下时间复杂度O(n+m)执行此操作。我将假设一个顶点存储为一个整数，一个边存储为一对尾部和头部的整数。

步骤A

除了L之外，请初始化以下内容

（a）一个数组A，每个顶点有一个插槽。数组应为每个顶点i存储一个指向i的所有顶点的列表。

（b）汇总S个汇点（因此可以删除）。

（c）数组B，每个顶点也有一个插槽。此数组应存储每个顶点i 数的边缘远离 i。当此数字降至零时，相应的顶点必须是接收器，因此可以添加到S。

步骤B

首先迭代一组边。将每个边E: i -> j增加B[i]一个，并将E添加到列表A[j]。此迭代为O(m)。

第C步

迭代数组B，如果B[i] == 0，请将i添加到堆栈S。这是O(m)。

步骤D

步骤D是一个while循环

while (S is not empty) {

从i移除第一个接收器S并将其添加到L。因为您有一个列表A[i]，所以您知道指向i的所有边。对于这些边缘中的每一个E: j-> i，通过从1中减去B[j]来删除边缘。如果B[j]的值已降至零，请将j添加到S

}.

在步骤D结束时，所有接收器都将被移除。步骤D为O(n+m)，因为每个顶点最多被移除一次，每条边最多读取一次。

Answer 2

没有指定数据结构，但选择好，运行时间为O（m + n），其中m是边数，n是顶点数。对于密集图，可能是m>＆gt; n，所以O（n）时间不足以读取整个图表。相反，如果图形断开，则可能是n>＆gt; m，所以大O内的两个术语都是必要的。