Question

给定一个长度为N的非零整数数组。写一个返回数组最大元素的函数，该元素是同一数组中某个其他元素的除数。如果此号码不存在，则返回0。我知道如何在O(n^2)中解决。是否可以更快地完成它？

Answer 1

首先，请注意您假设测试整数A除以整数B可以在O（1）中完成。我猜您也假设不允许预先计算（例如构建divisibility graph）。

由于integer factorization（不知道多项式算法）不是一个选项，因此你不能比O（n ^ 2）（最差情况）更快。

例如，给定输入{11,127,16139}（所有整数都是素数，每个整数的平方小于下一个），你就不能检查所有对。

Answer 2

我一直在玩你的问题一段时间，发现了一个比蛮力更强的解决方案。

它基于创意：

我们可以按顺序执行搜索，以便首先测试更大的除数候选。这样我们就可以在找到除数后立即终止搜索。
测试某个候选divw是否为w的除数的一种方法是计算r = floor(w / divw)，然后检查r * divw == w。有趣的是，当它失败时，我们可以将w的下一个除数候选者的上限计算为topw = floor(w / (r + 1))。因此，我们可以放弃divw和topw之间的任何内容。

第二点的示例：想象一下，我们正在测试divw = 10是w = 12的除数，我们计算r = floor(12 / 10) = 1和topw = floor(w / 2) = 6。因此，我们无需检查7和9之间的集合中的数字是否为12的除数。

为了实现这个算法，我使用了一个堆来保存集合中的数字，使用必须进行测试的下一个除数候选作为关键字。

因此...

初始化堆，将其前身的每个元素作为其较大的潜在除数。
弹出堆中的第一个元素（w）并检查潜在的除数候选（divw）是否实际上是除数。
如果是，请将其作为最大的除数
为topw，w计算divw;搜索集合divw'中等于或小于topw的下一个元素（使用二进制搜索）;如果找到，请再次在队列中推送w，divw'。
除非队列为空，请转到2。

Common Lisp中的实现可用here！

我想计算这个算法的理论计算成本会很有挑战性，特别是对于普通情况，所以我不打算这样做！

在运行十几次之后，当N为高并且数字分散时（这意味着一个数字是另一个数的除数的概率很低），它似乎比蛮力方法表现得更好。另一方面，当N为低或数字密集分布在一个小范围内时，蛮力似乎更快（这意味着数字的概率是另一个的除数很高）。

Answer 3

我这样做了

int f(int* a, int size)
{
    int max = 0;
    for (int i = 0; i < size; i++)
        for (int j = 0; j < size; j++)
            if (a[i] > a[j] && a[i] % a[j] == 0 && a[j] > max)
                max = a[j];
    return max;
}

查找数组的最大元素是另一个元素的除数

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