Question

有两个长度为N的整数序列A []和B []，都是未排序的。

要求：通过交换A []和B []之间的元素（可以随机交换，而不是使用相同的索引），区分{A []}中所有元素的总和与{所有元素的总和B []}中的元素最小。

PS：实际上，这是我遇到的面试问题。

非常感谢

Answer 1

这将是NP难！我相信你可以从Subset Sum减少到此。

~~根据BlueRaja / polygene的评论，我将尝试提供Subset Sum的完全减少。~~

这是一个减少：

子集和问题：给定整数x ₁，x ₂，...，x _n，是否有一些非空子集总和为零？

我们的问题：给定两个大小为k的整数数组，找到两个数组之和的最小可能差异，假设我们可以在数组中整数排列，将两个数组视为一个数组。

假设我们的问题有多项式时间算法。

现在说你得到整数T = {x ₁，x ₂，...，x _n}（multiset）< / p>
设S _i = x ₁ + x ₂ + ... + x _n + x <子> I

设T _i = {x ₁，x ₂，...，x _i-1 ，x _{i + 1}，...，x _n}（= T - x _i）

定义

_i =使用T _i
形成的数组
B _i = [S _i，0，...，0]（即一个元素是S _i，其余为零）。

设m _i =我们的问题找到的数组A _i和B _i
的最小差异
（我们运行我们的问题n次）。

声明：当且仅当有一些i时，T的一些非空子集合为零，其中m _i = 0。

证明：（wlog）说x ₁ + x ₂ + .. + x _k = 0

然后

A = [x _{k + 1}，...，x _n，0，... 0]

B = [x ₂，x ₃，...，x _k，S ₁， 0，.0]

给出最小差值m ₁为| x ₂ + .. + x _k +（x ₁ + ... + x _n）+ x ₁ - （x _{k + 1} + .. + x _{n < /子>）| = | 2（x ₁ + x ₂ + .. x _k）| = 0。}

同样可以证明if部分。

实际上，这实际上也跟随（更容易）来自分区：只需创建全零的新数组。

我没有犯任何错误。

Answer 2

采取NP-complete的任何实例partition problem：

将一个正整数的多重A分成两个具有相同和的多重集B和C

喜欢{a ₁，₂，...，_n}。添加n个零{0,0,0 ...，0，一个₁，...，一个_n}并询问该集合是否可以划分为两个多重集合A和B具有相同的总和和相同数量的元素。我声称这两个条件是等价的：

如果A和B是问题的解决方案，那么你可以删除零并获得分区问题的解决方案。
如果有分区问题的解决方案，例如_i1 + a _i2 + ... a _ik = a < sub> j1 + ... + a _jl其中{a _i1，a _i2，a _ik，_j1，...，_jl} = {a ₁，...，a _n}那么显然k + l = n。在左侧添加l个零，在右侧添加k，你将得到0 + ... + 0 + a _i1 + a _i2 + ... a _ik = 0 + ... + 0 + a _j1 + ... + a _jl，这是你的问题的解决方案。

所以，这是一个减少（所以问题是NP难），问题是NP，所以它是NP完全的。

Answer 3

“长度为N”的序列A []和B [] - >这是否意味着A和B都每个长度为N？

（为了清楚起见，我在下面使用基于1的数组）。

如果是这样，那怎么样：

假设A [1..N]和B [1..N]
将A和B连接成长度为2N的新数组C：C [1..N]＆lt; -A [1..N]; C [N + 1..2N]＆lt; -B [1..N]
按升序排序C.
从C中取出第一个对数字;将第一个元素（C [1]）发送到A [1]，将第二个元素（C [2]）发送到B [1]
从C中取第二对数字;这次将第二个元素（C [4]）发送到A [2]，将第一个元素（C [3]）发送到B [2]（顺序为发送到A和B的对中的元素与3）
...重复3和4直到C耗尽

这里的观察是，在排序的数组中，相邻的一对数字将具有最小的差异（与来自非相邻位置的一对数字相比）。步骤3确保A [1]和B [1]由一对具有最小可能差异的数字组成。步骤4确保（a）A [2]和B [2]由一对具有最小可能差异的数字（来自可用数字）组成，并且（b）差异与步骤3中的符号相反。像这样继续，我们确保A [i]和B [i]包含差异最小的数字。此外，通过翻转我们将元素发送到A和B的顺序，我们确保每个连续的i的差异发生变化。

Answer 4

试着对它贪婪。鉴于这些有限的信息，我不确定那里还有什么可以推出。

Answer 5

我不确定这是否会确保最小可能距离，但首先要考虑的是这样的事情：

int diff=0;
    for (int i = 0; i<len; i++){
        int x = a[i] - b[i];
        if (abs(diff - x) > abs(diff + x)){
             swap(a,b,i);
             diff-=x;
        }else{
             diff+=x;
        }

    }

假设您有一个交换函数，它接受两个数组并交换位置i处的项目:)

计算并添加位置i处两个值之间的差值，可以得到两个数组之和的增量差值。
在每一步，你检查是否更好地添加（a [i] -b [i]）或（b [i] -a [i]）。如果b [i] -a [i]就是这种情况，你可以交换数组中位置i的元素
也许这不是最好的方式，但它应该是一个开始：）

Answer 6

问题是NP-Complete。

我们可以将此问题的partition problem减少到决策版，即给定两个相同大小的整数数组，确定是否可以交换项目以使总和相等

分区问题的输入：整数S，大小为N

为了将此输入转换为我们问题的输入，我们将A定义为S中所有项的数组，B定义相同大小的数组，对于所有i，B [i] = 0。此转换在输入大小上是线性的。

很明显，当且仅当S分区为2个子集以使得总和相等时，我们在A和B上应用的算法才返回true。

需要针对此问题的算法

6 个答案: