Question

问题很简单：在典型的动态编程解决方案中，如何打印在计算最终解决方案期间遍历的实际状态？

让我试着在一个例子的帮助下解释我到底需要什么 -

假设我们有一个问题的DP解决方案，其中每个州都有二维，即解决方案中的状态看起来像(i,j)。现在，我们有一个起始状态 (0,0)和一些最终状态：(i,n)，其中i从0变为n。

因此，典型的解决方案将如下工作：

Start from a starting state: in this case -> (0,0)
Move to the next state based on some computation: suppose from (0,0), we could go to (1,0), (1,1) or (1,2).
.
.
Keep on traversing until we reach one of the end states: in this case (i,n), for any i.

现在，我需要打印此解决方案中遍历的路径。基本上，如果我可以找出从哪个状态到达最终状态，我可以使用该逻辑返回起始状态并因此打印路径。

P.S。：如果问题看起来太明显，请道歉。

Answer 1

您可以在计算过程中显式存储此信息。也就是说，除DP(i, j)之外，您可以保存PARENT(i, j)，它表示我们来自的状态以获取(i, j)的结果（并在初始计算期间进行转换时正确更新它）。
有时，我们可以在不明确存储的情况下计算PARENT(i, j)。情况是这样的：
- 有可能弄清楚我们可以从哪些状态转换到当前状态。
- 我们可以检查转换是否为我们提供了此状态的最佳解决方案。

当我们知道每个州的父级时，我们可以从最终状态开始迭代，将每个州添加到列表中，然后继续到其父级，直到我们到达开始状态（并在必要时最后反转列表））。我们也可以递归地做同样的事情。

这是一个（可能是微不足道的）例子：

让我们假设我们正在解决一个标准问题：给定一个带有数字的网格，如果我们只允许向右或向下移动，找到从左上角到右下角的路径，最大总和。

明确计算父母（我在这里省略了角落案例）：

if dp(i - 1, j) > dp(i, j - 1) then
    dp(i, j) = a(i, j) + dp(i - 1, j)
    par(i, j) = (i - 1, j)
else
    dp(i, j) = a(i, j) + dp(i, j - 1)
    par(i, j) = (i, j - 1)

隐式：

let getPar(i, j)
    if dp(i - 1, j) > dp(i, j - 1)
        return (i - 1, j)
    return (i, j - 1)

对于更复杂的问题，这个想法是一样的。

打印动态编程解决方案中遍历的路径

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